Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben sind die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ sowie die Punkte $Q_{a} (a | f (a))$ für $a \in ℝ$ . Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Punkte $P (0 | 2)$ und $Q_{2}$ .

Berechnen Sie für $a \neq 0$ die Steigung $m_{a}$ der Gerade durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an. (2P)
(zur Kontrolle: $m_{a} = \frac{a^{3} - 16}{8 a}$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungsdreieck
Man bestimmt die Steigung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ mit Hilfe des Steigungsdreiecks.
$m_{a} = \frac{\frac{1}{8} a^{3} - 2}{a} = \frac{a^{3} - 16}{8 a}$
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q_{a}$ wird mit $t_{a}$ bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $a \in ℝ$ , für den $t_{a}$ durch $P$ verläuft. (3P)

Man stellt zuerst die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q_{a}$ auf. Die Steigung $m_{t_{a}}$ berechnet sich als 1. Ableitung von $f$ an der Stelle $x = a$ .
$f^{'} (x) = \frac{3}{8} x^{2} \Rightarrow f^{'} (a) = m_{t_{a}} = \frac{3}{8} a^{2}$
Damit hat die gesuchte Tangente die Gleichung:
$t_{a} : y = \frac{3}{8} \cdot a^{2} \cdot x + b$ , wobei $b,$ der y-Achsenabschnitt bedeutet.
Da der Punkt $Q_{a}$ auf der Tangente liegen soll, muss gelten:
$\begin{array}{l} \frac{1}{8} \cdot a^{3} = \frac{3}{8} a^{2} \cdot a + b \\ ⟺ - \frac{2}{8} a^{3} = b \\ ⟺ - \frac{1}{4} a^{3} = b \end{array}$
Somit: $t_{a} : y = \frac{3}{8} a^{2} \cdot x - \frac{1}{4} a^{3}$
Der Punkt $P (0 | 2)$ soll auf der Tangente $t_{a}$ liegen.
Also $2 = - \frac{1}{4} a^{3} ⟺ a^{3} = - 8 ⟺ a = - 2$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org