Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Betrachtet wird die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ .

Zeigen Sie, dass die in $ℝ$ definierte Funktion $F$ mit $F (x) = - \frac{2}{\sqrt{x}}$ eine Stammfunktion von $f$ ist. (2P)

$F$ ist Stammfunktion von $f$ , wenn gilt $F^{'} (x) = f (x)$ .
Also: $F (x) = - \frac{2}{\sqrt{x}} = - 2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \Rightarrow F^{'} (x) = - 2 \cdot (- \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{3}{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} = f (x)$ .
Der Graph von $f$ schließt mit der x-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen $x = 1$ und $x = b$ mit $b > 1$ ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $b$ , für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Die Fläche unter dem Graphen von $f$ in den Grenzen von $1$ bis $b > 0$ berechnet sich als
$A = \int_{1}^{b} \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} = - \frac{2}{\sqrt{b}} + 2$ .
Man soll $b$ so bestimmen, dass $A = 1$ ist:
$2 - \frac{2}{\sqrt{b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{b}} = 1 \Leftrightarrow b = 4$ .
MIt Hilfe der Stammfunktion aus a) wird das Integral ausgewertet und damit $b$ bestimmt.