Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Der Funktionsterm von $g$ ist ein Produkt aus zwei Faktoren.

Der erste Faktor $x^2-9\cdot x=x\cdot (x-9)$ ist für alle reellen Zahlen definiert.

Der zweite Faktor $\sqrt{2-x}$ ist für $2-x\ge 0⟺$ $x\le 2⟺x\in ]-\infty ,2]$ definiert.

Also ist $D_g=]-\infty ,2]$

Die möglichen Nullstellen liegen an den Nullstellen der Faktoren.

Dabei muss man beachten, dass $x=9$ nicht im Definitionsbereich liegt.

Also: $g(x)=0⟺x=0\vee x=2$.

Die vorgelegte Funktion $h:x\mapsto \ln \frac{1}{x^2+1}$ ist eine verkettete Funktion. Da die $\ln -$Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Quotient $\frac{1}{x^2+1}>0$ sein. Dies ist gesichert, da Zähler und Nenner positiv sind.

Mit der Logarithmenregel $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ ergibt sich:

$h(x)=\ln 1-\ln (x^2+1)=-\ln (x^2+1)$

Der Argumentterm $x^2+1$ hat als Wertebereich $W=[1,\infty [$.

Damit gilt: $h(1)=-\ln 1=0$. Außerdem ist $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\ln (x^2+1)=\infty }$$

Damit gilt für den Wertebereich der Funktion $h:W_h=]-\infty ,0]$.