Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die gegebene Funktion ist stetig und differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.

$f(x)=e^{2x+1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=2\cdot e^{2x+1}.$

Da der Term der 1. Ableitung ein Produkt ist mit den positiven Faktoren $2>0\text{ und }{e}^{2x+1}>0$, ist $f^{\prime }(x)>0$.

Also ist die gegebene Funktion streng monoton wachsend.

Bestimmung des Term der Umkehrfunktion:

$y=e^{2x+1}\iff \ln (y)=2x+1\iff x=\frac{1}{2}\cdot (\ln y-1)$

Umkehrfunktion: $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\cdot (\ln (x)-1)$