Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^4-1$ und $g(x)=x-1$.

Da der ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}{x}^4-1=0$ und ${\lim }_{x\to 1}g(x)={\lim }_{x\to 1}x-1=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=4x^3$ und $g^{\prime }(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^4-1}{x-1}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^4-1}{x-1}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 1}\stackrel{\to 4}{\overbrace{{\displaystyle \frac{4x^3}{1}}}}={\displaystyle \frac{4}{1}}=4$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2+8x-20$ und $g(x)=3x^2-12$.

Da der ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}{x}^2+8x-20=0$ und ${\lim }_{x\to 2}g(x)={\lim }_{x\to 2}3x^2-12=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=2x+8$ und $g^{\prime }(x)=6x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2+8x-20}{3x^2-12}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2+8x-20}{3x^2-12}}={\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 2}\underset{\to 12}{\underbrace{\stackrel{\to 12}{\overbrace{{\displaystyle \frac{2x+8}{6x}}}}}}={\displaystyle \frac{12}{12}}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=\sin (x)$ und $g(x)=x$.

Da der ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\sin (x)=0$ und ${\lim }_{x\to 0}g(x)={\lim }_{x\to 0}x=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=\cos (x)$ und $g^{\prime }(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 0}\stackrel{\to 1}{\overbrace{{\displaystyle \frac{\cos (x)}{1}}}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x-1$ und $g(x)=e^x$.

Da der ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }x-1=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }g(x)={\lim }_{x\to \infty }{e}^x=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=1$ und $g^{\prime }(x)=e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x-1}{e^x}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x-1}{e^x}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}}}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2e^{2x}-2$ und $g(x)=2e^x-2$.

Da der ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}2e^{2x}-2=0$ und ${\lim }_{x\to 0}g(x)={\lim }_{x\to 0}2e^x-2=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=4e^{2x}$ und $g^{\prime }(x)=2e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{4e^{2x}}{2e^x}}={\lim }_{x\to 0}\stackrel{\to 2}{\overbrace{2e^x}}=2$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2x$ und $g(x)=x^2-2$.

Da der ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }2x=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }g(x)={\lim }_{x\to \infty }{x}^2-2=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=2$ und $g^{\prime }(x)=2x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2x}{x^2-2}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2x}{x^2-2}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{2}{2x}}}}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=e^x-3$.

Da der ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }{x}^2=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }g(x)={\lim }_{x\to \infty }{e}^x-3=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=2x$ und $g^{\prime }(x)=e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2x}{e^x}}$

Nun gilt aber ${\lim }_{x\to \infty }{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to \infty }2x=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }{g}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to \infty }{e}^x=\infty$

Somit ist wiederum keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind erfüllt. Die Funktionen werden erneut abgeleitet.

$f^{\prime \prime }(x)=2$ und $g^{\prime \prime }(x)=e^x$

Man betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime \prime }(x)}{g^{\prime \prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{2}{e^x}}}}=0$