Aufgaben zum Kegel

An einem Stück gehärtetem Stahl mit $d = 12$ mm und $l = 120$ mm soll eine Körnerspitze geschliffen werden. Der Spitzwinkel $β$ soll 90 Grad betragen.

Das Stahlstück ist vor der Bearbeitung ein Zylinder.

Dann wird eine Spitze angeschliffen, so dass der Winkel an der Spitze $90^{\circ}$ ist.

In welchem stumpfen Winkel $α$ muss der Stahl an die Schleifscheibe angelegt werden?

Nun sieht man, dass die Körnerspitze in Punkt P mit der Stirnseite der Schleifscheibe einen gestreckten Winkel von 180° bildet. Subtrahiert man von diesem nun $\frac{β}{2}$ erhält man $α$
$α$ $=$ $180^{\circ} - \frac{β}{2}$
$=$ $180^{\circ} - \frac{90^{\circ}}{2}$
$=$ $135^{\circ}$
Fertige eine Skizze mit Schleifscheibe und Körnerspitze an. Eine Seite des Körnekegels muss dabei an der Stirnseite der Schleifscheibe anliegen.
Wie viel Stahl muss abgeschliffen werden? Angabe in ${mm}^{3}$ .

Es genügt hier die Körnerspitze aufzuzeichnen mit Durchmesser, Radien, Höhe und halbem Spitzwinkel. Das Volumen des abzuschleifenden Stahls ist das Zylindervolumen mit d und h abzüglich des Kegelvolumens mit d und h.
Schritt 1: Bestimmung der Höhe $h$
Der Winkel $\frac{β}{2} = 45 °$ liegt in einem rechtwinkligen Dreieck. Da jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von 180° hat und mit $90^{\circ}$ und $45^{\circ}$ zwei Winkel bekannt sind, muss auch der andere Winkel $45^{\circ}$ sein (denn es ist $180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ ). Damit ist das Dreieck gleichschenklig. Die Höhe $h$ ist damit gleich $r$ und wir können sie damit folgendermaßen berechnen:
$h = r = \frac{d}{2}$
$h = \frac{12 m m}{2} = 6 mm$
Schritt 2: Berechnung des abzuschleifenden Volumens
$V$ $=$ $V_{Zylinder} - V_{Kegel}$
$=$ $\frac{π \cdot d^{2} \cdot h}{4} - \frac{π \cdot d^{2} \cdot h}{12}$
↓
Hauptnenner suchen und kürzen
$=$ $\frac{π \cdot d^{2} \cdot h}{6}$
↓
Werte einsetzen
$=$ $\frac{π \cdot 12^{2} \cdot 6 {mm}^{3}}{6}$
$=$ $452,39 {mm}^{3}$
Um wie viel Gramm ist der Stab nach den Schleifen leichter?
Hinweis: das spezifische Gewicht von Stahl beträgt $7,85 g / c m^{3}$

Das abzuschleifende Volumen beträgt $452,39 m m^{3}$
Zur Umwandlung in $c m^{3}$ das Volumen durch tausend teilen:
$V = 0,45239 c m^{3}$
Nun kann die Masse berechnet werden:
$m = 7,85 \frac{g}{c m^{3}} \cdot 0,45239 c m^{3}$
$= 3,55 g$
Die Masse eines Körpers berechnet sich aus dessen spezifischem Gewicht multipliziert mit dem Volumen:
$m = ρ \cdot V$
Der Spitzwinkel soll nun um 10 Grad verringert werden. In welchen Winkeln kann der Stahl an der Schleifscheibe geschliffen werden?

Neuer Spitzwinkel:
$β_{2} = β - 10 °$
$= 90 ° - 10 °$
$= 80 °$
Für den stumpfen Schleifwinkel gilt:
$α = 180 ° - \frac{β_{2}}{2}$
$= 180 ° - \frac{80 °}{2}$
$= 140 °$
Für einen spitzen Schleifwinkel gilt auch:
$α = \frac{β_{2}}{2}$
$= \frac{80 °}{2}$
$= 40 °$

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$α$	$=$	$180^{\circ} - \frac{β}{2}$
	$=$	$180^{\circ} - \frac{90^{\circ}}{2}$
	$=$	$135^{\circ}$

$V$	$=$	$V_{Zylinder} - V_{Kegel}$
	$=$	$\frac{π \cdot d^{2} \cdot h}{4} - \frac{π \cdot d^{2} \cdot h}{12}$
	↓	Hauptnenner suchen und kürzen
	$=$	$\frac{π \cdot d^{2} \cdot h}{6}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\frac{π \cdot 12^{2} \cdot 6 {mm}^{3}}{6}$
	$=$	$452,39 {mm}^{3}$