Aufgaben zu Kugeln und Geraden

Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M (1 | 2 | 3)$ , Radius $r = \sqrt{10}$ und eine Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ y \\ 4 \end{array})$ .

Für welchen Wert von $y$ ist die Gerade $g$ eine Tangente an die Kugel $K$ ? Gib auch den Berührpunkt an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel und Geraden

Aufstellen der Kugelgleichung

$M (1 | 2 | 3)$ , $r = \sqrt{10}$

$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$

$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}))}^{2} = {(\sqrt{10})}^{2} = 10$

Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor $\vec{x}$ in die Kugelgleichung ein.

$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ y \\ 4 \end{array})$ in $K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}))}^{2} = 10$ einsetzen:

${((\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ y \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}))}^{2}$	$=$	$10$
	↓	Fasse zusammen.
${((\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ y \\ 4 \end{array}))}^{2}$	$=$	$10$
	↓	Vereinfache weiter.
${(\begin{array}{c} 4 + t \\ 2 + y t \\ 4 + 4 t \end{array})}^{2}$	$=$	$10$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$(4 + t)^{2} + (2 + y t)^{2} + (4 + 4 t)^{2}$	$=$	$10$
	↓	Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
$16 + 8 t + t^{2} + 4 + 4 y t + (y t)^{2} + 16 + 32 t + 16 t^{2}$	$=$	$10$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$17 t^{2} + y^{2} t^{2} + 40 t + 4 y t + 36$	$=$	$10$	$- 10$
	↓	Klammere aus.
$(17 + y^{2}) \cdot t^{2} + (40 + 4 y) \cdot t + 26$	$=$	$0$

Du hast die quadratische Gleichung $(17 + y^{2}) \cdot t^{2} + (40 + 4 y) \cdot t + 26 = 0$ mit der Unbekannten $t$ erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = 17 + y^{2}$ , $b = 40 + 4 y$ , $c = 26$

$t_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze die Werte $a = 17 + y^{2}$ , $b = 40 + 4 y$ und $c = 26$ ein.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (40 + 4 y) \pm \sqrt{(40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26}}{2 \cdot (17 + y^{2})}$

Wenn die Gerade $g$ eine Tangente sein soll, dann darf es nur eine Lösung für die quadratische Gleichung geben. Die Diskriminante muss gleich Null sein. $D = (40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26 = 0$

$(40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache die linke Seite. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$1600 + 320 y + 16 y^{2} - 1768 - 104 y^{2}$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$- 88 y^{2} + 320 y - 168$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$88 y^{2} - 320 y + 168$	$=$	$0$

Du hast die quadratische Gleichung $88 y^{2} - 320 y + 168 = 0$ mit der Unbekannten $y$ erhalten. Die Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 88$ , $b = - 320$ , $c = 168$

$y_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 88$ , $b = - 320$ , $c = 168$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 320) \pm \sqrt{320^{2} - 4 \cdot 88 \cdot 168}}{2 \cdot 88}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{320 \pm \sqrt{102400 - 59136}}{176}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{320 \pm 208}{176}$

Fall: $+$

$y_{1} = \frac{528}{176} = 3$

Fall: $-$

$y_{2} = \frac{112}{176} = \frac{7}{11}$

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge: $𝕃 = {\frac{7}{11}; 3}$

Da es für $y$ zwei Lösungen gibt, erhältst du auch zwei Tangentengleichungen.

Setze in $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ y \\ 4 \end{array})$ für $y$ nacheinander die beiden Werte $y_{1} = 3$ und $y_{2} = \frac{7}{11}$ ein.

$g_{T a n g e n t e_{1}} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}) $ und

$g_{T a n g e n t e_{2}} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ \frac{7}{11} \\ 4 \end{array})$

Berührpunkte berechnen

Da die Diskriminante den Wert Null hat, gibt es nur eine Lösung bei der Schnittpunktsberechnung zwischen Gerade $g$ und Kugel $K$ .

$t_{1,2}$	$=$	$\frac{- (40 + 4 y) \pm \sqrt{(40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26}}{2 \cdot (17 + y^{2})}$
	↓	Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante $D$ .
	$=$	$\frac{- (40 + 4 y) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot (17 + y^{2})}$
	↓	Setze $D = 0$ , da es nur eine Lösung geben soll.
$t$	$=$	$- \frac{40 + 4 y}{2 \cdot (17 + y^{2})}$
	↓	Klammere im Zähler $2$ aus.
	$=$	$- \frac{2 \cdot (20 + 2 y)}{2 \cdot (17 + y^{2})}$
	↓	Kürze.
	$=$	$- \frac{20 + 2 y}{17 + y^{2}}$

Du hast für $t$ einen Term erhalten, der die y-Koordinate des Richtungsvektors der Geraden $g$ enthält. Für die beiden berechneten y-Werte $y_{1} = 3$ und $y_{2} = \frac{7}{11}$ erhältst du zwei Berührpunkte.

Für $y_{1} = 3$ folgt $t_{1} = - \frac{20 + 2 \cdot 3}{17 + 3^{2}} = - \frac{26}{26} = - 1$

Setze $t_{1} = - 1$ in $g_{T a n g e n t e_{1}} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ ein:

${\vec{X}}_{B_{1}} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) - 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow B_{1} (4 | 1 | 3)$

Für $y_{2} = \frac{7}{11}$ folgt $t_{2} = - \frac{20 + 2 \cdot \frac{7}{11}}{17 + {(\frac{7}{11})}^{2}} = - \frac{20 + \frac{14}{11}}{17 + \frac{49}{121}} = - \frac{\frac{234}{11}}{\frac{2106}{121}} = - \frac{11}{9}$

Setze $t_{2} = - \frac{11}{9}$ in $g_{T a n g e n t e_{2}} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ \frac{7}{11} \\ 4 \end{array})$ ein:

${\vec{X}}_{B_{2}} = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 7 \end{array}) - \frac{11}{9} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ \frac{7}{11} \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - \frac{11}{9} \\ 4 - \frac{7}{9} \\ 7 - \frac{44}{9} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{34}{9} \\ \frac{29}{9} \\ \frac{19}{9} \end{array}) \Rightarrow B_{2} (\frac{34}{9} | \frac{29}{9} | \frac{19}{9})$

Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten $B_{1} (4 | 1 | 3)$ und $B_{2} (\frac{34}{9} | \frac{29}{9} | \frac{19}{9})$ .

Wähle für die Koordinate $y$ in der oben angegebenen Geraden $g$ die Werte $y_{a} = 0$ und $y_{b} = 2$ .
Welche Lage haben die beiden Geraden $g_{a}$ und $g_{b}$ bezüglich der Kugel $K$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel und Geraden
Die oben berechnete Diskriminante lautet : $D = (40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26$
Setze nacheinander die gegebenen Werte für y ein.
$y_{a} = 0$
$D$ $=$ $(40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26$
↓
Setze für $y$ den Wert $0$ ein.
$=$ $(40 + 4 \cdot 0)^{2} - 4 \cdot (17 + 0^{2}) \cdot 26$
↓
Vereinfache.
$=$ $1600 - 1768$
$=$ $- 168$
Antwort: Die Diskriminante $D$ ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung. Die Gerade $g_{a}$ schneidet die Kugel $K$ nicht. Die Gerade ist eine Passante.
$y_{b} = 2$
$D$ $=$ $(40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26$
↓
Setze für $y$ den Wert $2$ ein.
$=$ $(40 + 4 \cdot 2)^{2} - 4 \cdot (17 + 2^{2}) \cdot 26$
↓
Vereinfache.
$=$ $48^{2} - 4 \cdot 21 \cdot 26$
$=$ $2304 - 2184$
$=$ $120$
Antwort: Die Diskriminante ist positiv, d.h. die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Die Gerade $g_{b}$ schneidet die Kugel $K$ in zwei Punkten. Die Gerade ist eine Sekante.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.
$g_{a}$ ist eine Passante
$g_{b}$ ist eine Sekante
In Aufgabe a) hast du bereits die Gerade $g$ mit der Kugel $K$ geschnitten. Die Lösung der quadratischen Gleichung enthält die unbekannte Koordinate $y$ . Der Wert der Diskriminanten $D$ entscheidet über die Lage der Geraden gegenüber der Kugel. Berechne die Diskriminante $D$ mit den beiden y-Werten und entscheide dann über die Lage der beiden Geraden $g_{a}$ und $g_{b}$ bezüglich der Kugel $K$ .

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$D$	$=$	$(40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26$
	↓	Setze für $y$ den Wert $0$ ein.
	$=$	$(40 + 4 \cdot 0)^{2} - 4 \cdot (17 + 0^{2}) \cdot 26$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$1600 - 1768$
	$=$	$- 168$

$D$	$=$	$(40 + 4 y)^{2} - 4 \cdot (17 + y^{2}) \cdot 26$
	↓	Setze für $y$ den Wert $2$ ein.
	$=$	$(40 + 4 \cdot 2)^{2} - 4 \cdot (17 + 2^{2}) \cdot 26$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$48^{2} - 4 \cdot 21 \cdot 26$
	$=$	$2304 - 2184$
	$=$	$120$