Aufgaben zu Kugeln und Geraden

Gegeben sind die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ und eine Gerade. Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden bezüglich der Kugel. Gib gegebenenfalls alle Schnittpunkte an.

Mittelpunkt der Kugel $M (5 | 2 | 1)$ , Kugelradius $r = 7$
Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
$M (5 | 2 | 1)$ , $r = 7$
$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array}))}^{2} = 7^{2} = 49$
Gerade g in $K$ einsetzen
${((\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array}))}^{2} = 49$
Fasse zusammen.
${((\begin{array}{c} - 6 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}))}^{2} = 49$
Vereinfache weiter.
${(\begin{array}{c} - 6 + t \\ 2 + 0 \\ 0 + 2 t \end{array})}^{2} = 49$
Rechne das Skalarprodukt aus.
$(- 6 + t)^{2} + 2^{2} + (2 t)^{2} = 49$
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
$36 - 12 t + t^{2} + 4 + 4 t^{2}$ $=$ $49$
$40 - 12 t + 5 t^{2}$ $=$ $49$ $- 49$
↓
linke Seite sortieren
$5 t^{2} - 12 t - 9$ $=$ $0$
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 5$ , $b = - 12$ , $c = - 9$
$t_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 5$ , $b = - 12$ , $c = - 9$ ein
$=$ $\frac{- (- 12) \pm \sqrt{(- 12)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 5}$
↓
vereinfache
$=$ $\frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{10}$
$=$ $\frac{12 \pm \sqrt{324}}{10}$
$=$ $\frac{12 \pm 18}{10}$
$t_{1}$ $=$ $3$
$t_{2}$ $=$ $- 0,6$
Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge $𝕃 = {- 0,6; 3}$ . Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade $g$ die Kugel $K$ in zwei Punkten. Die Gerade g ist also eine Sekante.
Schnittpunkte berechnen
Setze die zwei gefundenen Parameter $t_{1}$ und $t_{2}$ in die Geradengleichung ein.
$t_{1} = 3$ :
${\vec{X}}_{S_{1}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 + 3 \\ 4 + 0 \\ 1 + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array})$
$t_{2} = - 0,6$ :
${\vec{X}}_{S_{2}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + (- 0,6) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 - 0,6 \\ 4 + 0 \\ 1 - 1,2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1,6 \\ 4 \\ - 0,2 \end{array})$
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_{1} (2 | 4 | 7)$ und $S_{2} (- 1,6 | 4 | - 0,2)$ .
Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung $g$ in die Gleichung $K$ ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
Mittelpunkt der Kugel $M (1 | 2 | 4)$ , Kugelradius $r = \sqrt{21}$
Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 9 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
$M (1 | 2 | 4)$ , $r = \sqrt{21}$
$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}))}^{2} = {(\sqrt{21})}^{2} = 21$
Gerade g in $K$ einsetzen
${((\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 9 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}))}^{2} = 21$
Fasse zusammen.
${((\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}))}^{2} = 21$
Vereinfache weiter.
${(\begin{array}{c} 0 + t \\ - 4 + 0 \\ 5 - 2 t \end{array})}^{2} = 21$
Rechne das Skalarprodukt aus.
$t^{2} + (- 4)^{2} + (5 - 2 t)^{2} = 21$
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
$t^{2} + 16 + 25 - 20 t + 4 t^{2}$ $=$ $21$
↓
fasse zusammen
$5 t^{2} - 20 t + 41$ $=$ $21$ $- 21$
$5 t^{2} - 20 t + 20$ $=$ $0$ $: 5$
$t^{2} - 4 t + 4$ $=$ $0$
↓
wende eine binomische Formel an
${(t - 2)}^{2}$ $=$ $0$
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung kann direkt abgelesen werden: $t = 2$
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge $𝕃 = {2}$ . Da es genau eine Lösung gibt, haben die Gerade $g$ und die Kugel $K$ einen Punkt gemeinsam, d.h. die Gerade $g$ ist eine Tangente an die Kugel $K$ .
Schnittpunktberechnung
Da es nur einen gemeinsamen Punkt zwischen der Kugel und der Geraden gibt, ist dieser Punkt ein Berührpunkt.
Setze den Wert $t = 2$ in die Geradengleichung ein.
${\vec{X}}_{B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 9 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + 2 \\ - 2 + 0 \\ 9 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \\ 5 \end{array})$
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (3 | - 2 | 5) .$
Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung $g$ in die Gleichung $K$ ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
Mittelpunkt der Kugel $M (1 | 7 | 0)$ , Kugelradius $r = 6$
Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
$M (1 | 7 | 0)$ , $r = 6$
$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2} = r^{2}$
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 0 \end{array}))}^{2} = 6^{2} = 36$
Gerade g in $K$ einsetzen
${((\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 0 \end{array}))}^{2} = 36$
Fasse zusammen.
${((\begin{array}{c} 0 \\ - 5 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}))}^{2} = 36$
Vereinfache weiter.
$0^{2} + (- 5 + t)^{2} + (5 + 4 t)^{2} = 36$
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
$25 - 10 t + t^{2} + 25 + 40 t + 16 t^{2}$ $=$ $36$
↓
fasse zusammen
$17 t^{2} + 30 t + 50$ $=$ $36$ $- 36$
$17 t^{2} + 30 t + 14$ $=$ $0$
Die quadratische Gleichung löst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel.
Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 17$ , $b = 30$ , $c = 14$
$t_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 17$ , $b = 30$ , $c = 14$ ein
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 14}}{2 \cdot 17}$
↓
vereinfache
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 952}}{34}$
$=$ $\frac{- 30 \pm \sqrt{- 52}}{34}$
Du hast bei der Lösung der Gleichung eine negative Wurzel erhalten, d.h. die Gleichung hat keine reelle Lösung: $𝕃 = {}$
Die Gerade $g$ hat mit der Kugel $K$ keine gemeinsamen Punkte, d.h. die Gerade $g$ ist eine Passante.
Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung $g$ in die Gleichung $K$ ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$36 - 12 t + t^{2} + 4 + 4 t^{2}$	$=$	$49$
$40 - 12 t + 5 t^{2}$	$=$	$49$	$- 49$
	↓	linke Seite sortieren
$5 t^{2} - 12 t - 9$	$=$	$0$

$t_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 5$ , $b = - 12$ , $c = - 9$ ein
	$=$	$\frac{- (- 12) \pm \sqrt{(- 12)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 5}$
	↓	vereinfache
	$=$	$\frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{10}$
	$=$	$\frac{12 \pm \sqrt{324}}{10}$
	$=$	$\frac{12 \pm 18}{10}$
$t_{1}$	$=$	$3$
$t_{2}$	$=$	$- 0,6$

$t^{2} + 16 + 25 - 20 t + 4 t^{2}$	$=$	$21$
	↓	fasse zusammen
$5 t^{2} - 20 t + 41$	$=$	$21$	$- 21$
$5 t^{2} - 20 t + 20$	$=$	$0$	$: 5$
$t^{2} - 4 t + 4$	$=$	$0$
	↓	wende eine binomische Formel an
${(t - 2)}^{2}$	$=$	$0$

$25 - 10 t + t^{2} + 25 + 40 t + 16 t^{2}$	$=$	$36$
	↓	fasse zusammen
$17 t^{2} + 30 t + 50$	$=$	$36$	$- 36$
$17 t^{2} + 30 t + 14$	$=$	$0$

$t_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 17$ , $b = 30$ , $c = 14$ ein
	$=$	$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 14}}{2 \cdot 17}$
	↓	vereinfache
	$=$	$\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 952}}{34}$
	$=$	$\frac{- 30 \pm \sqrt{- 52}}{34}$

Aufgaben zu Kugeln und Geraden

Aufstellen der Kugelgleichung

Gerade g in K einsetzen

Schnittpunkte berechnen

Aufstellen der Kugelgleichung

Gerade g in K einsetzen

Schnittpunktberechnung

Aufstellen der Kugelgleichung

Gerade g in K einsetzen

Gerade g in $K$ einsetzen

Gerade g in $K$ einsetzen

Gerade g in $K$ einsetzen