Analysis II

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmung des Funktionsgraphen

Für die Lösung dieser Aufgabe, solltest du die Produktregel beherrschen und die Krümmung eines Funktionsgraphen bestimmen können.

Zunächst bestimmen wir die 1. Ableitung der Funktion f. Wobei f gegeben ist durch $f : x \mapsto x \cdot \sin x$ .

$f ´ (x)$	$=$	$[x \cdot \sin x] ´$
	↓	Im ersten Schritt wendest du die Produktregel an.
	$=$	$1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sin x + x \cdot \cos x$

Folglich lautet die erste Ableitung von f: $f^{'} (x) = \sin x + x \cdot \cos x$

Nun bestimmst du die 2. Ableitung.

$f ´ ´ (x)$	$=$	$[\sin x + x \cdot \cos x] ´$
	↓	Wende die Produktregel an.
	$=$	$\cos x + 1 \cdot (\cos x) + x \cdot (- \sin x)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\cos x + \cos x - x \cdot \sin x$
	↓	Fasse die beiden $\cos x$ zusammen.
	$=$	$2 \cdot \cos x - x \cdot \sin x$

Somit lautet die zweite Ableitung $f^{''} (x) = 2 \cdot \cos x - x \cdot \sin x$

Nun bestimmst du noch $f^{''} (0)$ , indem du $0$ in die zweite Ableitung einsetzt.

$f ´ ´ (0)$	$=$	$2 \cdot \cos (0) - 0 \cdot \sin (0)$
	↓	Rechne den Sinus und den Cosinus um.
	$=$	$2 \cdot 1 - 0$
	↓	Berechne.
	$=$	$2$

Im letzten Schritt gibst du das Krümmungsverhalten des Graphen von f in der Nähe des Koordinatenursprungs an.

Da $f^{''} (0) = 2$ und $f^{''} (x) = 2 > 0$ ist f in der unmittelbaren Umgebung von $0$ linksgekrümmt.