2020

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks ABCD ergibt sich aus dem Flächeninhalt der Dreiecke ABM und AMD, die beide gleich sind, sowie aus dem Flächeninhalt der Dreiecke BCM und CDM, die ebenfalls beide gleich sind.

Verwende für die Berechnung der unbekannten Seitenlängen $\overline{AM}$ und $\overline{CM}$ den Satz von Pythagoras,

Bekannt :

$a=\left|\overline{AB}\right|=2cm$ und $b=\left|\overline{BC}\right|=4cm$ und den Längen der Diagonalen

$e=\left|\overline{AC}\right|=5cm$ und $f=\left|\overline{BD}\right|=3cm$.

Berechnung der Seitenlängen:

 $(\overline{AM}{)}^2+(\overline{BM}{)}^2=a^2$

$(\overline{AM}{)}^2+({\displaystyle \frac{f}{2}}{)}^2=2^2$

$(\overline{AM}{)}^2+(\mathrm{1,5}cm{)}^2=4c{m}^2$

$(\overline{AM}{)}^2=4c{m}^2-\mathrm{2,25}c{m}^2=\mathrm{1,75}c{m}^2$

$(\overline{AM})=\sqrt{\mathrm{1,75}c{m}^2}=\mathrm{1,32}cm$

 $\overline{CM}=\overline{AC}-\overline{AM}=5cm-\mathrm{1,32}cm=\mathrm{3,68}cm$

Flächenberechnung:

$A_{ABM}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{1,32}cm\cdot \mathrm{1,5}cm)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{1,98}c{m}^2)=\mathrm{0,99}c{m}^2$

$A_{BCM}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{3,68}cm\cdot \mathrm{1,5}cm)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{5,52}c{m}^2)=\mathrm{2,76}c{m}^2$$$

$A_{ABCD}=2\cdot (A_{ABM}+A_{BCM})=2\cdot (\mathrm{0,99}c{m}^2+\mathrm{2,76}c{m}^2)=2\cdot \mathrm{3,75}c{m}^2=\mathrm{7,5}c{m}^2$

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks ABCD beträgt $\mathrm{7,5}c{m}^2$.

Alternative Rechnung:

Wie man hier sieht, ist der Flächeninhalt von $a$ und $b$ unabhängig.

Der Flächeninhalt ist die Hälfte des Produkts der Längen der Diagonalen, also

$F={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot e\cdot f={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\text{cm }\cdot 5\text{ cm}=\mathrm{7,5}{\text{cm}}^2.$