A I

Hierfür musst du in der Lage sein, ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen aufzulösen.

Durch die angegebenen Punkte kannst du drei Gleichungen aufstellen, indem du jeweils den $x$- und $y$-Wert in die allgemeine Form einer quadratischen Funktion einsetzt:

$(I)$ $a(-6{)}^2+b(-6)+c=6$

$(II)$ $a(-2{)}^2+b(-2)+c=-2$

$(III)$ $\begin{array}{l}a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=\mathrm{2,5}\\ \end{array}$

Vereinfache die einzelnen Gleichungen.

$(I)$ $36a-6b+c=6$

$(II)$ $4a-2b+c=-2$

$(III)$ $\begin{array}{l}a+b+c=\mathrm{2,5}\\ \end{array}$

Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung $(I)$ nach $c$.

$(I^{\prime })$ $\begin{array}{l}c=6-36a+6b\\ \end{array}$

Setze den Term für $c$ in $(II)$ und $(III)$ ein.

$(I{I}^{\prime })$ $4a-2b+(6-36a+6b)=-2$

$(I{I}^{\prime })$ $\begin{array}{l}-32a+4b+6=-2\\ \end{array}$

$(II{I}^{\prime })$ $a+b+(6-36a+6b)=\mathrm{2,5}$

$(II{I}^{\prime })$ $-35a+7b+6=\mathrm{2,5}$

$(II{I}^{\prime })$ $-35a+7b=-\mathrm{3,5}|:7$

$(II{I}^{\prime \prime })$ $\begin{array}{l}-5a+b=-\mathrm{0,5}\\ \end{array}$

Löse eine weitere Gleichung nach einer Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung $(I{I}^{\prime })$ nach $b$.

$(I{I}^{\prime \prime })$ $4b=-8+32a$

$(I{I}^{\prime \prime })$ $\begin{array}{l}b=-2+8a\\ \end{array}$

Setze das Ergebnis für $b$ in Gleichung $(II{I}^{\prime })$ ein.

$(II{I}^{\prime \prime })$ $-5a+(-2+8a)=-\mathrm{0,5}$

$(II{I}^{\prime \prime })$

Setze den Wert für $a$ in $b$ ein.

$\begin{array}{l}b=-2+8\cdot \mathrm{0,5}=-2+4=2\\ \end{array}$

Setze die Werte für $a$ und $b$ in den Ausdruck für $c$ ein.

$c=6-36\cdot \mathrm{0,5}+6\cdot 2=0$

Wenn du diese Werte wieder in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzt, erhältst du

Zum Zeichnen eines Graphen kannst du eine Wertetabelle anfertigen.

Für die Lösung dieser Teilaufgabe solltest du wissen, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen ausrechnest.

Markierung des linken endlichen Flächenstücks

Das gesuchte Flächenstück ist in Orange markiert.

Berechnung des Flächeninhalts

Den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechnet man mithilfe eines Integrals.

Die Grenzen des Integrals dürfen abgelesen werden, es handelt sich um die $x$-Werte der Schnittpunkte der beiden Graphen:

Der linke Schnittpunkt liegt bei $x=-6$, der rechte bei $x=-4$.

Nun kann man in die Formel für die Flächenberechnung zwischen zwei Graphen einsetzen:

Die Reihenfolge von $f(x)$ und $p(x)$ ist egal, solange man an Betragsstriche denkt. Lässt man diese weg, muss man darauf achten, dass man den unteren Graphen vom oberen abzieht.

$${\displaystyle \left|{\int }_a^b(f(x)-p(x))\mathrm{d}x\right|}$$

Setze die Werte ein.

$${\displaystyle \left|{\int }_{-6}^{-4}(-\frac{1}{4}(x^3+8x^2+16x)-(\mathrm{0,5}{x}^2+2x))\mathrm{d}x\right|}$$

Vereinfache.

$${\displaystyle \left|{\int }_{-6}^{-4}(-\frac{1}{4}{x}^3-\mathrm{2,5}{x}^2-6x)\mathrm{d}x\right|}$$

Bilde die Stammfunktion.

Der Flächeninhalt beträgt $\frac{5}{3}FE\approx \mathrm{1,7}FE$.