Aufgaben zur Lage von Punkten

Untersuche, ob der Punkt in der gegebenen Ebene liegt.

$E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$ und $P (- 1 | 2 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
$(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$
So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
$\begin{array}{llcr} I & - 1 & = & 1 - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ II & 2 & = & - 3 + 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ III & 1 & = & 2 + 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
Umgeformt ergibt sich:
$\begin{array}{llcr} I^{'} & - 2 & = & - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ I I^{'} & 5 & = & 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ I I I^{'} & - 1 & = & 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3 \cdot I^{'} + 2 \cdot I I^{'}$
$\begin{array}{cccccccl} 3 \cdot I^{'} : & - 6 & = & - 6 \cdot r & + & 9 \cdot s \\ + 2 \cdot I I^{'} : & 10 & = & + 6 \cdot r & - & 8 \cdot s \end{array}$
$4 = 0 \cdot r + 1 \cdot s \Rightarrow s = 4$
Setze $s = 4$ in Gleichung $I^{'}$ ein und du erhältst:
$- 2$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
↓
setze $s = 4$ ein
$- 2$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot 4$ $+ 2 \cdot r$
$- 2 + 2 \cdot r$ $=$ $12$ $+ 2$
$2 \cdot r$ $=$ $14$ $: 2$
$r$ $=$ $7$
Mit den Werten $r = 7$ und $s = 4$ werden die Gleichungen $I I^{'}$ und $I I I^{'}$ überprüft.
Für Gleichung $I I^{'}$ erhältst du:
$5$ $=$ $3 \cdot r - 4 \cdot s$
↓
setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
$5$ $=$ $3 \cdot 7 - 4 \cdot 4$
$5$ $=$ $21 - 16$
$5$ $=$ $5 ✓$
Für Gleichung $I I I^{'}$ erhältst du:
$- 1$ $=$ $1 \cdot r - 2 \cdot s$
↓
setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
$- 1$ $=$ $1 \cdot 7 - 2 \cdot 4$
$- 1$ $=$ $7 - 8$
$- 1$ $=$ $- 1 ✓$
Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene.
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $P$ mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein).
$E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$ und $Q (2 | 5 | - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
$(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$
So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
$\begin{array}{llcr} I & 2 & = & 1 - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ II & 5 & = & - 3 + 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ III & - 3 & = & 2 + 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
Umgeformt ergibt sich:
$\begin{array}{llcr} I^{'} & 1 & = & - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ I I^{'} & 8 & = & 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ I I I^{'} & - 5 & = & 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3 \cdot I^{'} + 2 \cdot I I^{'}$
$\begin{array}{cccccccl} 3 \cdot I^{'} : & 3 & = & - 6 \cdot r & + & 9 \cdot s \\ + 2 \cdot I I^{'} : & 16 & = & + 6 \cdot r & - & 8 \cdot s \end{array}$
$19 = 0 \cdot r + 1 \cdot s \Rightarrow s = 19$
Setze $s = 19$ in Gleichung $I^{'}$ ein und du erhältst:
$1$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
↓
setze $s = 19$ ein
$1$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot 19$ $+ 2 \cdot r$
$1 + 2 \cdot r$ $=$ $57$ $- 1$
$2 \cdot r$ $=$ $56$ $: 2$
$r$ $=$ $28$
Mit den Werten $r = 28$ und $s = 19$ werden die Gleichungen $I I^{'}$ und $I I I^{'}$ überprüft.
Für Gleichung $I I^{'}$ erhältst du:
$8$ $=$ $3 \cdot r - 4 \cdot s$
↓
setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
$8$ $=$ $3 \cdot 28 - 4 \cdot 19$
$8$ $=$ $84 - 76$
$8$ $=$ $8 ✓$
Für Gleichung $I I I^{'}$ erhältst du:
$- 5$ $=$ $1 \cdot r - 2 \cdot s$
↓
setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
$- 5$ $=$ $1 \cdot 28 - 2 \cdot 19$
$- 5$ $=$ $28 - 38$
$- 5$ $=$ $- 10$
↓
falsche Aussage
Der Punkt Q erfüllt nicht alle drei Ebenengleichungen, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $Q$ mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $Q$ ein).
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$ und $P (2 | - 1 | 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $P$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) = 0$
Berechne das Skalarprodukt:
$1 \cdot 1 + (- 4) \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 = 1 + 4 + 0 = 5 \neq 0$
Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein.
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$ und $Q (1 | 1 | 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $Q$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = 0$
Berechne das Skalarprodukt:
$1 \cdot 0 + (- 4) \cdot (- 1) + 4 \cdot (- 1) = 0 + 4 - 4 = 0 ✓$
Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $Q$ ein.
$E : 2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ und $P (1 | 1 | 5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $P (1 | 1 | 5)$ in $2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ ein:
$2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 5 - 3 = 2 - 4 + 5 - 3 = 0 ✓$
Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $P$ in die Ebenengleichung eingesetzt.
$E : 2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ und $Q (3 | 1 | 6)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $Q (3 | 1 | 6)$ in $2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ ein:
$2 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 6 - 3 = 6 - 4 + 6 - 3 = 5 \neq 0$
Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $Q$ in die Ebenengleichung eingesetzt.

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$- 2$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
	↓	setze $s = 4$ ein
$- 2$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot 4$	$+ 2 \cdot r$
$- 2 + 2 \cdot r$	$=$	$12$	$+ 2$
$2 \cdot r$	$=$	$14$	$: 2$
$r$	$=$	$7$

$5$	$=$	$3 \cdot r - 4 \cdot s$
	↓	setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
$5$	$=$	$3 \cdot 7 - 4 \cdot 4$
$5$	$=$	$21 - 16$
$5$	$=$	$5 ✓$

$- 1$	$=$	$1 \cdot r - 2 \cdot s$
	↓	setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
$- 1$	$=$	$1 \cdot 7 - 2 \cdot 4$
$- 1$	$=$	$7 - 8$
$- 1$	$=$	$- 1 ✓$

$1$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
	↓	setze $s = 19$ ein
$1$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot 19$	$+ 2 \cdot r$
$1 + 2 \cdot r$	$=$	$57$	$- 1$
$2 \cdot r$	$=$	$56$	$: 2$
$r$	$=$	$28$

$8$	$=$	$3 \cdot r - 4 \cdot s$
	↓	setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
$8$	$=$	$3 \cdot 28 - 4 \cdot 19$
$8$	$=$	$84 - 76$
$8$	$=$	$8 ✓$

$- 5$	$=$	$1 \cdot r - 2 \cdot s$
	↓	setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
$- 5$	$=$	$1 \cdot 28 - 2 \cdot 19$
$- 5$	$=$	$28 - 38$
$- 5$	$=$	$- 10$
	↓	falsche Aussage