🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung .

Die freie Lernplattform

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $p_{k} : x \mapsto k x^{2} - 4 x - 3$ mit $k \in R ∖ {0}$ , deren Graphen Parabeln sind.

Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass der Punkt $(2 | - 3)$ auf der zugehörigen Parabel liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenschar
In der Aufgabe sind Lagebeziehungen bei einer Funktionenschar zu untersuchen.
Gegeben ist die Funktionenschar
$p_{k} : x \mapsto k x^{2} - 4 x - 3$
und der Punkt $P (2 | - 3)$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in die Funktionsgleichung der Schar ein und löse nach $k$ auf.
$- 3$ $=$ $k \cdot 22 - 4 \cdot 2 - 3$
$- 3$ $=$ $4 k - 11$ $+ 11$
$4 k$ $=$ $8$ $: 4$
$k$ $=$ $2$
Der Punkt $P (2 ∣ - 3)$ liegt auf der Parabel $p_{k}$ :
$p_{2} : x \mapsto 2 x^{2} - 4 x - 3$
Ermitteln Sie diejenigen Werte von $k$ , für die die jeweils zugehörige Funktion $p_{k}$ keine Nullstelle besitzt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenschar
Dass eine Funktion der Schar keine Nullstelle hat, bedeutet, dass die Gleichung $p_{k} (x) = 0$ keine Lösung hat.
Somit darf die quadratische Gleichung
$k x^{2} - 4 x - 3 = 0$
keine Lösung haben.
Also muss deren Diskriminante negativ sein.
$16 + 12 k$ $<$ $0$ $- 16$
$12 k$ $<$ $- 16$ $: 12$
$k$ $<$ $- \frac{3}{4} $
Für alle Funktionen der Schar $p_{k}$ mit $k < - \frac{4}{3}$ haben die Graphen keine Nullstelle.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org