Teil B

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = - 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x - 1)$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .

Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f_{1}$ an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f_{1}$ für $x \in [1,5; 11]$ in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 1 ≦ x ≦ 12;$ $- 6 ≦ y ≦ 6$ .
(4 Punkte)

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum die Wertemenge und Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen. Anschließend soll man diese Funktion auch zeichnen.
Definitionsmenge und Wertemenge
Die Funktion $f_{1} (x) = - 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x - 1)$ ist nur definiert, wenn das Argument des Logarithmus positiv ist. Du kannst also schnell erkennen, dass du nur Zahlen größer als $1$ einsetzen darfst.
$𝔻 = {x | x > 1}$
Die Wertemenge ergibt sich ebenfalls durch die Eigenschaften des Logarithmus und entspricht ganz $ℝ$ .
$𝕎 = ℝ$
Einzeichnen in ein Koordinatensystem
Zeichne anschließend die Funktion anhand einer Wertetabelle aus deinem Taschenrechner in ein Koordinatensystem ein.
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der $x$ -Achse und anschließender Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y = 1,5 \cdot {log}_{0,5} x$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ abgebildet. Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors $\vec{v}$ an und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [1,5; 11]$ in das Koordinatensystem zu $B 1.1$ ein.
(3 Punkte)

In dieser Teilaufgabe sollst du den Verschiebungsvektor $\vec{v}$ bestimmen und die Funktion $f_{2}$ in das Koordinatensystem aus B 1.1 einzeichnen.
Bestimmung des Verschiebungsvektors
Die Achsenspiegelung des Graphen $f_{1}$ führt dazu, dass sich das Vorzeichen der Funktion umkehrt.
Die Verschiebung bewirkt eine Änderung des Arguments im Logarithmus. Aus $x - 1$ wird hier $x$ . Du kannst dir vorstellen, dass die ganze Funktion um $1$ in $x$ -Richtung nach links geschoben wird, da nicht mehr $- 1$ gerechnet wird.
Der Vektor, der "Verschiebung um $1$ in $x$ -Richtung" repräsentiert ist dann:
$\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array})$
Einzeichnen der Funktion $f_{2}$
Die Funktion $f_{2} = 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x)$ zeichnest du wieder mithilfe einer Wertetabelle in das Koordinatensystem ein.

Punkte $A_{n} (x | 1,5 \cdot {log}_{0,5} x)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_{n} (x | - 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x - 1))$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ . Sie sind für $x > 1,62$ zusammen mit den Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .

Es gilt: $B_{n} D_{n} = 6 LE$ .

Zeichnen Sie die Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2,5$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 8,5$ in das Koordinatensystem zu $B 1.1$ ein.

Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A_{n} C_{n} (x) = - 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x^{2} - x) LE$ .

(4 Punkte)

Die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige $x$ -Koordinate des Punktes $A_{3}$ . Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.
(2 Punkte)

Bei dieser Teilaufgabe geht es darum, die x-Koordinate von $A_{3}$ zu bestimmen.
Die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ist ein Quadrat. Bei einem Quadrat sind nicht nur alle Seitenlängen gleich lang, sondern auch die beiden Diagonalen.
In dieser Aufgabe kennst du bereits die Länge der einen Diagonalen $B_{n} D_{n} = 6 LE$ . Für die andere Diagonale hast du in der Aufgabe $B 1.3$ bereits eine Formel aufgestellt.
Setze die beiden Diagonalen gleich und berechne damit den $x$ -Wert von $A_{3}$ .
$6$ $=$ $- 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x^{2} - x)$ $: (- 1,5)$
$- 4$ $=$ ${log}_{0,5} (x^{2} - x)$
↓
Löse den Logarithmus auf.
${0,5}^{- 4}$ $=$ $x^{2} - x$
$16$ $=$ $x^{2} - x$
Stelle diese Gleichung um und nutze die Mitternachtsformel um sie zu lösen!
$0 = x^{2} - x - 16$
$x_{3 / 4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 16) \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
$x_{3} = 4,53$
$x_{4} = - 3,53$
Die Definitionsmenge unserer Funktionen ist nur im Positiven, daher ist $x_{4} = - 3,53$ keine gültige Lösung.
Der $x$ -Wert von $A_{3}$ ist $x_{3} = 4,53$ .
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte $M_{n}$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$M_{n} (x | 0,75 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x}{x - 1}))$ .
(2 Punkte)

Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten von $M_{n}$ bestimmen.
Die Punkte $M_{n}$ liegen genau in der Mitte der Punkte $A_{n}$ und $C_{n}$ .
Aus diesem Grund muss für jeweils die $x$ - und die $y$ -Koordinate die Mitte gefunden werden.
Bei der $x$ -Koordinate ist dies einfach, da $A_{n}$ und $C_{n}$ dieselbe Abszisse besitzen. Die $x$ -Koordinate von $M_{n}$ ist also $x$ .
Bei der $y$ -Koordinate musst du jetzt die Mitte herausfinden. Stelle dazu die Formel auf.
$y_{M_{n}} = \frac{y_{A_{n}} + y_{C_{n}}}{2}$
Setze die $y$ -Werte von $A_{n}$ und $C_{n}$ ein.
$y_{M_{n}} = \frac{1,5 {log}_{0,5} (x) + (- 1,5 {log}_{0,5} (x - 1))}{2}$
Klammere $1,5$ aus.
$y_{M_{n}} = \frac{1,5 \cdot ({log}_{0,5} (x) - {log}_{0,5} (x - 1))}{2}$
Vereinfache den Zähler nach den Rechenregeln für den Logarithmus!
$y_{M_{n}} = \frac{1,5 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x}{x - 1})}{2}$
$y_{M_{n}} = 0,75 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x}{x - 1})$
Du erhältst für $M_{n}$ :
$M_{n} = (x | 0,75 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x}{x - 1}))$
Geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_{n}$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ an.
(2 Punkte)

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_{n}$ der Rauten $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ angeben.
Für den Trägergraphen von $D_{n}$ benötigst du die Koordinaten von $D_{n}$ , ausgedrückt durch den $x$ -Wert von $A_{n}$ und $C_{n}$ .
Du weißt, dass $D_{n}$ immer $3 LE$ links von $x$ liegt. Damit kommst du auf die $x$ -Koordinate:
$x_{D} = x - 3$
Für die $y$ -Koordinate kannst du die Höhe des Punktes $M_{n}$ nutzen. Dessen $y$ -Koordinate ist dieselbe wie von $D_{n}$ .
$y_{D} = 0,75 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x}{x - 1})$
Um den Trägergraphen zu bestimmen musst du nun die Gleichung für $x_{D}$ nach $x$ auflösen und in die Gleichung von $y_{D}$ einsetzen.
Auflösen nach $x$ :
$x = x_{D} + 3$
Einsetzen in $y_{D}$ :
$y_{D} = 0,75 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x_{D} + 3}{x_{D} + 3 - 1})$
$y_{D} = 0,75 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x_{D} + 3}{x_{D} + 2})$
Du erhältst damit den Trägergraphen für $D_{n}$ :
$y = 0,75 \cdot {log}_{0,5} (\frac{x + 3}{x + 2})$
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen,
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Teil B

Definitionsmenge und Wertemenge

Einzeichnen in ein Koordinatensystem

Bestimmung des Verschiebungsvektors

Einzeichnen der Funktion $f_{2}$

Zeichnen der Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$

Berechnung der Länge der Strecken $A_{n} C_{n}$

$A_{n} C_{n}$	$=$	$- 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x - 1) - 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x)$
	↓	Klammere $- 1,5$ aus.
	$=$	$- 1,5 \cdot ({log}_{0,5} (x - 1) + {log}_{0,5} (x))$
	↓	Forme den Term in der Klammer nach den Regeln zum Rechnen mit dem Logarithmus um. Aus der Summe wird so ein Produkt im Logarithmus.
	$=$	$- 1,5 \cdot [{log}_{0,5} ((x - 1) \cdot x)]$
	↓	Vereinfache das Argument des Logarithmus.
	$=$	$- 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x^{2} - x)$

$6$	$=$	$- 1,5 \cdot {log}_{0,5} (x^{2} - x)$	$: (- 1,5)$
$- 4$	$=$	${log}_{0,5} (x^{2} - x)$
	↓	Löse den Logarithmus auf.
${0,5}^{- 4}$	$=$	$x^{2} - x$
$16$	$=$	$x^{2} - x$

Teil B

Definitionsmenge und Wertemenge

Einzeichnen in ein Koordinatensystem

Bestimmung des Verschiebungsvektors

Einzeichnen der Funktion f2

Zeichnen der Rauten A1B1C1D1 und A2B2C2D2

Berechnung der Länge der Strecken AnCn

Einzeichnen der Funktion $f_{2}$

Zeichnen der Rauten $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$

Berechnung der Länge der Strecken $A_{n} C_{n}$