Teil A

Die Punkte $A (- 0,5 | 1)$ und $B (3,5 | 1)$ legen zusammen mit Pfeilen

$\vec{A C_{n}} (φ) = (\begin{array}{c} 8 \cdot cos (φ) - 0,5 \\ \frac{1}{cos (φ)} + 1 \end{array})$ für $φ \in [0^{\circ}; 90^{\circ} [$ Dreiecke $A B C_{n}$ fest.

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile $\vec{A C_{1}}$ für $φ = 40^{\circ}$ und $\vec{A C_{2}}$ für $φ = 80^{\circ}$ .
Zeichnen Sie anschließend die Dreiecke $A B C_{1}$ und $A B C_{2}$ in das Koordinatensystem ein.
3 Punkte

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
Bei der Teilaufgabe (a) sollst du zuerst die Vektoren $\vec{A C_{1}}$ und $\vec{A C_{2}}$ berechnen und dann die Dreiecke $Δ A B C_{1}$ und $Δ A B C_{2}$ zeichnen.
Berechne zuerst die Vektoren $\vec{A C_{1}}$ und $\vec{A C_{2}}$ mithilfe der angegebenen Formel.
$\vec{A C_{1}} = \vec{A C_{n}} (40^{\circ}) = (\begin{array}{c} 8 \cdot \cos (40^{\circ}) - 0,5 \\ \frac{1}{\cos (40^{\circ})} + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5,6 \\ 2,3 \end{array})$
$\vec{A C_{2}} = \vec{A C_{n}} (80^{\circ}) = (\begin{array}{c} 8 \cdot \cos (80^{\circ}) - 0,5 \\ \frac{1}{\cos (80^{\circ})} + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,9 \\ 6,8 \end{array})$
Jetzt kannst du die Dreiecke in das angegebene Koordinatensystem einzeichnen.
Beginne mit den bereits bekannten Punkten $A (- 0,5 | 1)$ und $B (3,5 | 1)$ .
Zeichne anschließend den Vektor $\vec{A C_{1}}$ und den Punkt $C_{1}$ an die Spitze des Vektors.
Verbinde anschließend die Punkte miteinander.
Wiederhole diese Schritte für den Vektor $\vec{A C_{2}}$ und den Punkt $C_{2}$
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $C_{n} (8 \cdot cos (φ) - 1 | \frac{1}{cos (φ)} + 2)$ .
(1 Punkt)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
In dieser Teilaufgabe soll man die Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ darstellen und zeigen, dass gilt: $C_{n} (8 \cdot cos (φ) - 1 | \frac{1}{cos (φ)} + 2)$ .
Um die Koordinaten von den Punkten $C_{n}$ herauszufinden, musst du den Vektor $\vec{A C_{n}}$ betrachten.
Die Formel für diesen Vektor ist:
$\vec{A C_{n}} = {\vec{C}}_{n} - \vec{A}$
Dabei ist $\vec{A} = (\begin{array}{c} - 0,5 \\ 1 \end{array})$ .
Umgestellt nach $C_{n}$ :
${\vec{C}}_{n} = \vec{A C_{n}} + \vec{A}$
$C_{n} = (\begin{array}{c} 8 \cdot \cos (φ) - 0,5 \\ \frac{1}{\cos (φ)} + 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 0,5 \\ 1 \end{array})$
$C_{n} = (\begin{array}{c} 8 \cdot \cos (φ) - 0,5 - 0,5 \\ \frac{1}{\cos (φ)} + 1 + 1 \end{array})$
$C_{n} = (\begin{array}{c} 8 \cdot \cos (φ) - 1 \\ \frac{1}{\cos (φ)} + 2 \end{array})$
Die Punkte $C_{n}$ besitzen die Koordinaten $(8 \cdot \cos (φ) - 1 | \frac{1}{\cos (φ)} + 2)$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $C_{n}$ .
(2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trägergraphen
Bei dieser Teilaufgabe soll man rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $C_{n}$ bestimmen.
Um den Trägergraphen zu berechnen, musst du eine Form suchen, in der nur noch $x$ und $y$ aber nicht mehr $φ$ vorkommt.
Diese findest du durch Betrachtung der Koordinaten von $C_{n}$ aus der Teilaufgabe (b).
Die $x$ -Koordinate von $C_{n}$ ist:
$x = 8 \cdot \cos (φ) - 1$
Die $y$ -Koordinate von $C_{n}$ ist:
$y = \frac{1}{\cos (φ)} + 2$
Du kannst nun die Gleichung der $x$ -Koordinate nach $\cos (φ)$ auflösen und das in die Gleichung der $y$ -Koordinate einsetzen.
$x = 8 \cdot \cos (φ) - 1 | + 1 | : 8$
$\frac{x + 1}{8} = \cos (φ)$
Setze das nun in die Formel für die $y$ -Koordinate ein.
$\begin{array}{l} y = \frac{1}{\frac{x + 1}{8}} + 2 \\ y = \frac{8}{x + 1} + 2 \end{array}$
Der Trägergraph von den Punkten $C_{n}$ ist $y = \frac{8}{x + 1} + 2$ .
Unter den Dreiecken $A B C_{n}$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $A B C_{3}$ mit der Basis $[A B]$ .
Ermitteln Sie das zugehörige Winkelmaß $φ$ und begründen Sie durch Rechnung, dass das Dreieck $A B C_{3}$ nicht gleichseitig ist.
(3 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gleichschenkliges Dreieck
Bei der Teilaufgabe (d) soll man den Winkel $φ$ ermitteln für den ein gleichschenkliges Dreieck $A B C_{3}$ entsteht.
Gesucht ist nun ein Dreieck $A B C_{3}$ , das gleichschenklig sein soll.
Bei dieser Aufgabe ist es hilfreich, die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks zu kennen.
Insbesondere, dass die Spitze genau in der Mitte über der Basislinie liegt.
Die Mitte der Basislinie $A B$ liegt bei $x = \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}) = \frac{1}{2} (- 0,5 + 3,5) = 1,5$
Aus diesem Wert und der $x$ -Koordinate von $C_{n}$ aus A 2.2 kannst du den Winkel $φ$ bestimmen.
$x = 8 \cdot \cos (φ) - 1 = 1,5$
$1,5 = 8 \cdot \cos (φ) - 1 | + 1 | : 8$
$\frac{1,5 + 1}{8} = cos (φ)$
$φ = {cos}^{- 1} (\frac{2,5}{8}) = {71,8}^{\circ}$
Der Winkel $φ$ beträgt also ${71,8}^{\circ}$ .
Anschließend sollst du prüfen, ob das Dreieck gleichseitig ist.
Berechne dazu den Betrag des Vektors $\vec{A C_{3}}$ :
$| \vec{A C_{3}} | = \sqrt{(8 \cdot \cos ({71,8}^{\circ}) - 0,5)^{2} + {(\frac{1}{\cos ({71,8}^{\circ})} + 1)}^{2}} LE$
$| \vec{A C_{3}} | = 4,7 LE$
Die Basislinie $A B$ beträgt allerdings $4 LE$ . Damit kann das Dreieck $A B C_{3}$ nicht gleichseitig sein.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org