Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma $A B C D E F$ mit $A (0 | 0 | 0)$ , $B (8 | 0 | 0)$ , $C (0 | 8 | 0)$ und $D (0 | 0 | 4)$

Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für die Bestimmung des Abstandes zweier Punkte ist der Betrag des Differenzvektors zu berechnen - Stichwort: Pythagoras!
$\begin{aligned} d (B, F) & = \\ = | \vec{B F} | \\ = | \vec{f} - \vec{b} | \end{aligned}$
Spätestens jetzt müssen die Koordinaten von $F$ geklärt werden: Da es sich um eine gerades Prisma handelt, befindet sich der Punkt $F$ 4 Längeneinheiten in $x_{3}$ -Richtung über Punkt $C$ , daher sind die Koordinaten von $F$ : $(0 | 8 | 4)$ .
$\begin{aligned} d (B, F) & = | (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 0 \end{array}) | \\ = | (\begin{array}{c} - 8 \\ 8 \\ 4 \end{array}) | \\ = \sqrt{(- 8)^{2} + 8^{2} + 4^{2}} = \sqrt{144} \\ = 12 \end{aligned}$
Die Punkte M und P sind die Mittelpunkte der Kanten $[A D]$ bzw. $[B C]$ . Der Punkt $K (0 | y_{K} | 4)$ liegt auf der Kante $[D F]$ . Bestimmen Sie $y_{K}$ so, dass das Dreieck KMP in M rechtwinklig ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Rechtwinkligkeit zwischen zwei Vektoren, weist man am einfachsten nach, in dem man zeigt, dass das entsprechende Skalarprodukt den Wert 0 hat!
Die beiden Schenkel $\vec{M K}$ und $\vec{M P}$ werden wie schon in Teilaufgabe a) als Differenvektoren berechnet. Somit ist nun also der Ansatz:
$\begin{aligned} (\begin{array}{c} 0 - 0 \\ y_{k} - 0 \\ 4 - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 - 0 \\ 4 - 0 \\ 0 - 2 \end{array}) & = 0 \\ (\begin{array}{c} 0 - 0 \\ y_{k} - 0 \\ 4 - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 - 0 \\ 4 - 0 \\ 0 - 2 \end{array}) & = 0 \\ (\begin{array}{c} 0 \\ y_{k} \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ - 2 \end{array}) & = 0 \\ 4 y_{k} - 4 & = 0 \\ y_{k} & = 1 \end{aligned}$
Wenn der Punkt $K$ die Koordinaten $(0 | 1 | 4)$ hat, hat das Dreieck $K M P$ bei $M$ einen rechten Winkel!

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org