A II

Gegeben ist die reelle Funktion $f : x \mapsto \frac{2 x + 1}{x^{3}}$ mit der maximalen Definitionsmenge $𝔻_{f} \subset ℝ$ . Ihr Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Geben Sie $𝔻_{f}$ und die Art der Definitionslücke von $f$ an und bestimmen Sie die Nullstelle von $f$ . (3 BE)
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern von $𝔻_{f}$ und geben Sie Art und Gleichungen aller Asymptoten von $𝔾_{f}$ an. (5 BE)
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von $𝔾_{f}$ und bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunktes von $𝔾_{f}$ . (7 BE)
$[Mögliches Teilergebnis: f^{'} (x) = \frac{- 4 x - 3}{x^{4}}]$
Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und mittels geeigneter zusätzlicher Funktionswerte $G_{f}$ für $- 5 \leq 5 x \leq 5$ in ein kartesisches Koordinatensystem (5 BE)
Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm $f (x)$ auch durch $f (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ darstellen lässt und bestimmen Sie seine Stammfunktion F der Funktion f mit $𝔻_{F} = 𝔻_{f}$ . (3 BE)
Der Graph $G_{f}$ , die Geraden $x = 1, x = b (b > 1)$ und die x-Achse schließen ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück für $b = 4$ im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.4. Zeigen Sie, dass sich für die Maßzahl des Flächeninhalts $A (b) = - \frac{2}{b} - \frac{0,5}{b^{2}} + 2,5$ ergibt. Bestimmen Sie den Grenzwert von A(b) für $b \to \infty$ . (6 BE)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org