Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt" sitzen 30 Senioren im Publikum.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Wir können uns die Situtation als Bernoulli-Kette vorstellen. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal voneinander unabhängig wiederholt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen). Die zu einer Bernoulli-Kette gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung.
Wir definieren die Zufallsgröße $X$ als "Anzahl der Senioren im Publikum mit Handy". Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens 17 und höchstens 23 Senioren im Publikum ein Handy besitzen. Definiere das Ereignis $A$ : "mindestens 17 und höchstens 23 Senioren im Publikum besitzen ein Handy". Die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert von mindestens 17 und höchstens 23 annimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert zwischen zwei Zahlen annimmt, lässt sich nach dem Merksatz ”Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze“ bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ maximal einen bestimmten Wert annimmt, entspricht dem Wert der Verteilungsfunktion an dieser Stelle. Da $X$ bernoulliverteilt ist, verwenden wir die Verteilungsfunktion der Bernoulliverteilung. Die benötigten Werte dieser Verteilungsfunktion kannst du im Tafelwerk der Stochastik nachsehen.In Formeln:
$\begin{aligned} P (A) & = P (17 \leq X \leq 23) \\ = P (X \leq 23) - P (X \leq 16) \\ = F_{\frac{2}{3}}^{30} (X \leq 23) - F_{\frac{2}{3}}^{30} (X \leq 16) \\ = \sum_{i = 0}^{23} B (30; \frac{2}{3}; i) - \sum_{i = 0}^{16} B (30; \frac{2}{3}; i) \\ = 0,91616 - 0,08977 \\ \approx 82,6 % \end{aligned}$
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen, beträgt ca. $82,6 %$ .
Von den 30 Senioren im Publikum besitzen 24 ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser drei Senioren ein Mobiltelefon besitzen. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Urnenmodell
Wir können uns die Situation als Urnenmodell mit Ziehen ohne Zurücklegen vorstellen. In der Urne befinden sich 30 Kugeln (30 Senioren im Publikum). Davon sind 24 schwarz (24 der Senioren im Publikum besitzen ein Mobiltelefon). Nun werden aus der Urne 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen (3 Senioren werden zufällig ausgewählt). Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Kugeln schwarz (genau 2 der 3 Senioren besitzen ein Handy) können wir mit der Formel aus der Merkhilfe bestimmen:
$P ("genau k schwarze Kugeln") = \frac{(\binom{n}{k}) (\binom{N - n}{K - k})}{(\binom{N}{K})}$
$\begin{aligned} P (X = 2) & = \frac{(\binom{24}{2}) (\binom{30 - 24}{3 - 2})}{(\binom{30}{3})} \\ = \frac{(\binom{24}{2}) (\binom{6}{1})}{(\binom{30}{3})} \\ \approx 40,8 % \end{aligned}$
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Senioren ein Mobiltelefon besitzen, beträgt ca. $40,8 %$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org