Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion $h : x \mapsto \frac{3}{e^{x + 1} - 1}$ mit Definitionsbereich $𝔻_{h} =] - 1; + \infty [$ . Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_{h}$ von $h$ .

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$ gilt.
Zeigen Sie rechnerisch für $x \in 𝔻_{h}$ , dass für die Ableitung $h^{'}$ von $h$ gilt: (4 BE)
$h^{'} (x) < 0$
Gegeben ist ferner die in $𝔻_{h}$ definierte Integralfunktion $H_{0} : x \mapsto \int_{0}^{x} h (t) d t$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtung
Zum Lösen dieser Aufgabe musst du die Grenzwertbetrachtung und die Ableitungsregeln beherrschen.
Grenzwert
Bei der Betrachtung des Grenzwertes musst du dir überlegen wie sich Zähler und Nenner im Unendlichen Verhalten. Da der Zähler konstant 3 bleibt reicht es den Nenner anzuschauen. Für diesen gilt $\lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1 = + \infty$ , sodass der konstante Wert 3 im Unendlichen durch eine Unendlich große Zahl geteilt wird. Also ist der Grenzwert: $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{e^{x + 1} - 1} = 0$
Ableitung
Um zu zeigen, dass $h^{'} (x) < 0$ musst du zunächst die Ableitung berechnen.
$h (x) = \frac{3}{e^{x + 1} - 1}$
Wende die Quotientenregel an.
$\begin{aligned} h^{'} (x) & = \frac{(e^{x + 1} - 1) \cdot 0 - 3 \cdot e^{x + 1}}{(e^{x + 1} - 1)^{2}} \\ = \frac{- 3 e^{x + 1}}{(e^{x + 1} - 1)^{2}} \end{aligned}$
Vereinfachen.
Da der Nenner durch das Quadrat immer positiv ist reicht es den Zähler zu betrachten. Der Zähler wiederum wird durch die Multiplikation mit $- 3$ immer negativ.
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind: (4 BE)
$α)$ Der Graph von $H_{0}$ ist streng monoton steigend.
$β)$ Der Graph von $H_{0}$ ist rechtsgekrümmt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Integrale, Krümmung und Monotonie.
Der Graph von $H_{0}$ ist streng monoton steigend
Zunächst solltest du dir noch einmal bewusst machen, dass die Integralfunktion in einem Bereich die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ausgibt. Die Funktion $h (x)$ hat keine Nullstellen und der Graph nähert sich der x-Achse zwar immer weiter an, ohne dabei aber die Achse zu schneiden. Somit wird die Fläche zwischen Graph und x-Achse immer größer und damit steigt auch die Integralfunktion streng monoton.
Der Graph von $H_{0}$ ist Rechtsgekrümmt
Als erstes solltest du dir noch einmal bewusstmachen, was Krümmung überhaupt bedeutet und wie du sie zeigen kannst. Ein Graph ist nämlich genau dann rechtsgekrümmt, wenn seine zweite Ableitung negativ, also kleiner als 0 ist. Jede Integralfunktion ist auch eine Stammfunktion der Funktion. Also ist $h (x)$ die erste und $h^{'} (x)$ die zweite Ableitung zu $H_{0}$ . Dass $h^{'} (x)$ negativ ist hast du aber in Teilaufgabe a) bereits gezeigt. Somit ist $H_{0}$ rechtsgekrümmt.
Geben Sie die Nullstelle von $H_{0}$ an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte $H_{0} (- 0,5)$ sowie $H_{0} (3)$ . Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von $H_{0}$ im Bereich $- 0,5 \leq x \leq 3$ . (6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralfunktionen
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du dich mit Integralen, Integralfunktionen und er Berechnung von Flächeninhalten von Dreieck und Trapez auskennen.
Nullstelle von $H_{0}$
Eine Integralfunktion hat eine Nullstelle, wenn obere und untere Grenze des Integrals übereinstimmen. Die Nullstelle ist im unserem Fall also bei $x = 0$ . Die Nullstelle ist also (0|0). Da die Funktion $h (x)$ ausschließlich im Positiven verläuft ist dies die einzige Nullstelle.
Berechnung der Punkte
Da die Integralfunktion den Flächeninhalt den der Graph mit der X-Achse einschließt angibt, kannst du indem du diesen Flächeninhalt näherungsweise bestimmst auch den Funktionswert der Integralfunktion annähern.
Berechnen von $H_{0} (- 0,5)$
In Fall von $H_{0} (- 0,5)$ bietet sich für die Annäherung ein Trapez an.
Jetzt musst du nur noch den Flächeninhalt des in der Graphik zu sehenden Trapezes berechnen. Die längen der Strecken kannst du dabei ganz einfach aus den Koordinaten der Eckpunkte ablesen. Die Eckpunkte die du brauchst sind $B (- 0,5 | 0), C (0 | 1,5) und D (- 0,5 | 4,5)$ . Die Strecken d und a sind Parallel zueinander und b steht senkrecht auf beiden, kann also als höhe verwendet werden.
$A_{T r a p e z} = (\frac{4,5 + 1,5}{2}) \cdot 0,5 = 3 \cdot 0,5 = 1,5$
Der Flächeninhalt beträgt also 1,5. Da der betrachtete Bereich aber in negativer x-Richtung liegt ist $H_{0} (- 0,5) \approx - 1,5$ .
Berechnen von $H_{0} (3)$
Bei $H_{0} (3)$ bietet es sich an zur Annäherung ein Dreieck zu verwenden.
Um den Flächeninhalt des abgebildeten Dreiecks zu berechnen kannst du die längen der benötigten Strecken erneut aus den Koordinaten den Eckpunkte ablesen. In diesem Fall sind es die Punkte $E (0 | 1) und F (3 | 0)$ .
$A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$
Der Flächeninhalt ist also 1,5 und $H_{0} (3) \approx 1,5$ .
Graph
Beim zeichnen des Graphen musst du darauf achten die Monotonie, das Krümmungsverhalten, die Nullstellen und die berechneten Punkte einzuzeichnen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org