Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A (0 | 1 | 2)$ und $B (2 | 5 | 6)$ .

Zeigen Sie, dass die Punkte $A$ und $B$ den Abstand $6$ haben. Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf $g$ und haben von $A$ jeweils den Abstand $12$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten von $C$ und $D$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zwischen zwei Punkten
Für diese Aufgabe musst du wissen, wie du den Abstand zwischen zwei Punkten ausrechnest. Außerdem musst du Vektoren addieren und multiplizieren können.
Abstand der Punkte $A$ und $B$
Dafür berechnest du den Betrag des Verbindungsvektors zwischen $A$ und $B$ :
$\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array})$
$| \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36} = 6$
Die Punkte $A$ und $B$ haben den Abstand $6$ Längeneinheiten voneinander, wie man zeigen sollte. Statt dem Vektor $\vec{A B}$ kann man natürlich genauso den Vektor $\vec{B A}$ verwenden.
Koordinaten von $B$ und $C$
$\vec{A B}$ ist ein Richtungsvektor der Geraden mit der Länge $6$ . Sucht man jetzt Punkte, die auf der Geraden liegen und den Abstand $12$ von $A$ haben, muss man zum Punkt $A$ gehörigen Vektor nur zweimal den Vektor $\vec{A B}$ addieren bzw. subtrahieren:
$\vec{0 C} = \vec{0 A} + 2 \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 8 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 9 \\ 10 \end{array})$
und
$\vec{0 D} = \vec{0 A} - 2 \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 8 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 7 \\ - 6 \end{array})$
Damit hat der Punkt $C$ die Koordinaten $(4 | 9 | 10)$ und der Punkt $D$ die Koordinaten $(- 4 | - 7 | - 6)$ .
Die Punkte $A, B$ und $E (1 | 2 | 5)$ sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelograms
Für diese Aufgabe solltest du die Eigenschaften eines Parallelogramms kennen.
Grundsätzlich sind drei Möglichkeiten vorstellbar, die drei vorhandenen Punkte zu einem Parallelogramm zu ergänzen. Sie sind alle in der Grafik rechts grundsätzlich dargestellt.
Das Vorgehen zum Ermitteln eines neuen Punktes funktioniert immer gleich: Man stellt einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten auf und addiert diesen zum dritten Punkt.
Nachdem du den Vektor $\vec{A B}$ bereits kennst, lassen sich die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ schneller ausrechnen:
$\vec{O P_{1}} = \vec{O E} + \vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array})$
$\vec{O P_{2}} = \vec{O E} - \vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
Einen Verbindungsvektor berechnet man, indem man "Spitze minus Fuß" rechnet:
$\vec{O P_{3}} = \vec{O A} + \vec{E B} = \vec{O A} + [\vec{O B} - \vec{O E}] = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array})$
Die drei möglichen Punkte sind:
$P 1 (3 ∣ 6 ∣ 9), 𝖯_{𝟤} (- 𝟣 | - 𝟤 | 𝟣) 𝗎 𝗇 𝖽 𝖯_{𝟥} (𝟣 | 𝟦 | 𝟥)$
Achtung: Man kann jeden der Punkte auf viele verschiedene Arten erhalten, ein anderer Rechenweg ist also gut möglich.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Abstand der Punkte A und B

Koordinaten von B und C

Abstand der Punkte $A$ und $B$

Koordinaten von $B$ und $C$