Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße $X$ festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ . (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenwahrscheinlichkeit
Aus der Abbildung entnimmst du die Werte
$P (X = - 2) = 0,25$
$P (X = 1) = 0,25$
$P (X = 2) = 0,5$
$P (X \notin {- 2,1,2}) = 0$ , da $P (X \in {- 2,1,2}) = 1$ (als Gegenwahrscheinlichkeit)
Der letzte Punkt heißt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ nicht $- 2$ , $1$ oder $2$ ist, gleich Null ist.
Den Erwartungswert berechnest du dann wie folgt:
$\begin{aligned} E (X) & = (- 2) \cdot P (X = - 2) + 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) \\ = - 0,5 + 0,25 + 1 = 0,75 \end{aligned}$
Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße $X$ notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Summe der Zufallsgrößen auswerten
Eine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, jede Möglichkeit für die Summe zu berechnen.
Dies kann man in folgendem Baumdiagramm darstellen. Die Pfade, bei denen die Summe negativ ist, sind farblich markiert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zufallsvariablen negativ ist $(formal: P (X_{1} + X_{2} < 0))$ , berechnet sich als Summe der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten.
$\begin{aligned} P (X_{1} + X_{2} < 0) & = P (X_{1} + X_{2} = - 4) + P (X_{1} + X_{2} = - 1) \\ = {(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{3}{16} \end{aligned}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Summe der Zufallsgrößen auswerten