Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ und $x \in ℝ$ .

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von $f$ auf der Geraden mit der Gleichung $y = x - 2$ liegt. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Überlege dir zunächst, was ein Wendepunkt ist. An diesem Punkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Graphen. Du berechnest ihn, indem du alle Punkte bestimmst, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, und die dritte Ableitung ungleich Null ist.
Leite nun die Funktion $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ drei mal nach x ab. Dies ergibt:
$f (x)$ $=$ $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$
$f^{'} (x)$ $=$ $3 x^{2} - 12 x + 11$
$f^{''} (x)$ $=$ $6 x - 12$
$f^{'''} (x)$ $=$ $6 \neq 0$
Um nun alle Punkte zu erhalten, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, musst du $f^{''} (x)$ gleich Null setzen:
$6 x - 12$ $=$ $0$ $| + 12$
$6 x$ $=$ $12$ $: 6$
$x$ $=$ $2$
Nur für $x = 2$ ist die zweite Ableitung, also Null. Des Weiteren ist die dritte Ableitung immer ungleich Null, weswegen bei $x = 2$ ein Wendepunkt vorliegt.
Um zu überprüfen, ob dieser auf der Geraden mit der Gleichung $y = x - 2$ liegt, musst du die y-Koordinate des Funktionsgraphen von $f (x)$ an der Stelle $x = 2$ ausrechnen, und dann in die Geradengleichung einsetzen.Es ergibt sich:
$f (2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$
Die Koordinaten des Wendepunktes sind also $W (2 | 0)$ . Dieser Punkt erfüllt die Geradengleichung $y = x - 2$ : $2$ als x-Koordinate und $0$ als y-Koordinate eingesetzt ergibt $0 = 2 - 2$ . Dies ist eine wahre Aussage.
Deswegen liegt der Wendepunkt $W (2 | 0)$ der Funktion $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ auf der Geraden $y = x - 2$ .
Der Graph von $f$ wird verschoben. Der Punkt $(2 | 0)$ des Graphen der Funktion $f$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3 | 2)$ . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion $h$ . Geben Sie eine Gleichung von $h$ an. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verschiebung von Funktionen
Denke zuerst darüber nach, um wie viel der Graph der Funktion $f$ in x- und in y-Richtung verschoben wurde. Der Punkt $(2 | 0)$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3 | 2)$ . Der x-Wert hat also um 1 zugenommen und der y-Wert hat sich um 2 vergrößert.
Im Artikel Verschiebung von Funktionen, kannst du noch mal genau nachlesen, wie sich das Verschieben von Funktionen auf den Funktionsterm auswirkt.
Der Graph der Funktion $h (x)$ ist also um 1 nach rechts verschoben gegenüber der Funktion $f (x)$ . Um den Funktionsterm von $h (x)$ zu bestimmen, müssen wir also $f (x - 1)$ betrachten.
Da der Graph der Funktion $h (x)$ noch um 2 nach oben verschoben ist, ergibt sich insgesamt für den Funktionsterm von $h (x)$ :
$h (x)$ $=$ $f (x - 1) + 2$
$=$ $(x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 6 + 2$
$=$ $(x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 4$
Die Gleichung von $h$ ist also: $h (x) = (x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 4$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$
$f^{'} (x)$	$=$	$3 x^{2} - 12 x + 11$
$f^{''} (x)$	$=$	$6 x - 12$
$f^{'''} (x)$	$=$	$6 \neq 0$

$h (x)$	$=$	$f (x - 1) + 2$
	$=$	$(x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 6 + 2$
	$=$	$(x - 1)^{3} - 6 \cdot (x - 1)^{2} + 11 \cdot (x - 1) - 4$