Gruppe A

Eine von Gehwegen begrenzte Rasenfläche hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten acht Meter bzw. fünf Meter lang sind. Für die Rasenfläche ist ein Sandkasten in der Form eines Rechtecks vorgesehen, dessen Eckpunkte wie abgebildet auf den Seiten des Dreiecks liegen. Dieses Rechteck ist $x$ Meter lang und $a$ Meter breit.

Mithilfe des Strahlensatzes wurde eine Gleichung aufgestellt, die den Zusammenhang zwischen $a$ und $x$ richtig beschreibt. Kreuzen Sie diese Gleichung an. (1 BE)
- $\frac{5}{x} = \frac{8}{a}$
- $\frac{5}{x} = \frac{a}{5 - x}$
- $\frac{5}{x} = \frac{3}{a}$
- $\frac{5}{x} = \frac{8}{8 - a}$
- $\frac{5}{x} = \frac{8 - a}{8}$
Der Flächeninhalt des abgebildeten Rechtecks lässt sich in Abhängigkeit von $x$ durch die Funktion $A$ mit
$A (x) = x \cdot (8 - \frac{8}{5} x)$ und $0 \leq x \leq 5$ beschreiben. Geben Sie die Nullstellen der Funktion $A$ und mithilfe dieser Nullstellen die x-Koordinate des Scheitels der zu $A$ gehörenden Parabel an. (2 BE)

Für diese Aufgabe musst du die Berechnung von Nullstellen beherrschen.
Berechne die Nullstellen von
$\begin{array}{l} A (x) = x \cdot (8 - \frac{8}{5} \cdot x) \end{array}$ im Bereich $0 \leq x \leq 5$ .
$x \cdot (8 - \frac{8}{5} \cdot x) = 0$
Die Gleichung hat den Wert $0$ , wenn einer der beiden Faktoren den Wert $0$ hat.
$x_{1} = 0$
$x_{2} = 5$
Die beiden Nullstellen sind $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 5$ .
Die x Koordinate des Scheitels ist $x = 2,5$ , da die x Koordinate des Scheitels in der Mitte der beiden Nulstellen liegt.
Deuten Sie im Sachzusammenhang die x-Koordinate des Scheitels der zu $A$ gehörenden Parabel. (1 BE)

Für diese Aufgabe musst du die Berechnung des Scheitelpunktes beherrschen.
Benutze für die Funktion $A$ die Formel für den Scheitelpunkt.
$A (x) = - \frac{8}{5} x^{2} + 8 x$
$S (- \frac{8}{\frac{- 16}{5}} | - \frac{64}{\frac{- 32}{5}}) = S (2,5 | 10)$
Der Scheitel der Parabel hat die Koordinaten $S (2,5 | 10)$ .
Für eine Länge von 2,5 m wird der Flächeninhalt des Sandkastens maximal.

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