Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ .

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für $\int_{3}^{5} f (x) d x$ . (2 BE)

Den Wert des Integrals kannst du näherungsweise in der Abbildung ablesen, da der Wert des Integrals gerade der Größe der Fläche unterhalb des Graphen entspricht.
Zähle jetzt einfach die Kästchen, die von der Kurve, den zwei senkrechten Linien und der $x$ -Achse eingeschlossen sind. $4$ Kästchen zusammen geben eine Flächeneinheit ( $1 F E$ ).
$\int_{3}^{5} f (x) d x \approx 9 K \ddot{a} s t c h e n = 2,25 F E$
Ob du $9$ oder $10$ Kästchen heraus bekommst, ist bei einem Näherungswert nicht wichtig. Punkte gibt es trotzdem ;).
Die Funktion $F$ ist die in $ℝ$ definierte Stammfunktion von $f$ mit $F (3) = 0$ .
Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von $F$ an der Stelle $x = 2$ an. (1 BE)

Die Aufgabe ist einfach nur gemein gestellt und klingt total kompliziert. Ist es aber wirklich nicht! Was ist denn die Ableitung von der Stammfunktion $F$ ? Genau, einfach die Funktion $f$ . Deswegen musst du beim ablesen von diesem Punkt einfach nur in der Abbildung, die du schon gegeben hast, den Punkt mit der $x$ -Koordinate $2$ heraus suchen.
Bei $x = 2$ ist $y = 0,5$ da die Funktion $f$ die Ableitung der Stammfunktion $F$ ist.
Zeigen Sie, dass $F (b) = \int_{3}^{b} f (x) d x$ mit $b \in ℝ$ gilt. (2 BE)

Überlege dir, wie du die Funktion $f$ integrierst. Dazu benötigst du eine Stammfunktion. Diese hast du schon gegeben. Außerdem weißt du schon, dass $F (3) = 0$ . Aus dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt:
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
Setze die gegebenen Grenzen aus der Aufgabenstellung ein.
$\int_{3}^{b} f (x) d x = F (b) - F (3)$
Setze ein, was du schon weißt.
$\int_{3}^{b} f (x) d x = F (b) - 0 = F (b)$
Und schon bist du fertig! :)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org