Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben sind die beiden bezüglich der $x_{1} x_{3}$ -Ebene symmetrisch liegenden Punkte $A (2 | 3 | 1)$ und $B (2 | - 3 | 1)$ sowie der Punkt $C (0 | 2 | 0)$ .

Weisen Sie nach, dass das Dreieck $A B C$ bei $C$ rechtwinklig ist. (3 BE)

Verwende das Skalarprodukt, um zu prüfen, ob die Vektoren $\vec{C A}$ und $\vec{C B}$ orthogonal zueinander sind:
$\vec{C A} \circ \vec{C B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array}) = 4 - 5 + 1 = 0$
⟹ rechter Winkel bei $ C$ .
Geben Sie die Koordianten eines weiteren Punkts $D$ der $x_{2}$ -Achse an, so dass das Dreieck $A B D$ bei $D$ rechtwinklig ist. Begründen Sie ihre Antwort. (2 BE)

Zunächst sollte dir auffallen, dass $A$ und $B$ symmetrisch bezüglich der $x_{1} x_{3}$ -Ebene sind. Außerdem weißt du, dass $C$ auf der $x_{2}$ -Achse liegt und dass im Dreieck $A B C$ bei $C$ ein rechter Winkel ist.
Um $D$ zu erhalten, musst du $C$ an der $x_{1} x_{3}$ -Ebene spiegeln, $D$ hat also die Koordinaten $(0 | - 2 | 0)$ .
Du kannst die Lage von $D$ mit der Symmetrie von $A$ und $C$ bezüglich der $x_{1} x_{3}$ -Ebene begründen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org