Analysis I

Teil 2

Teilaufgabe a)

Wir untersuchen die Symmetrie des Graphen auf Punktsymmetrie, indem wir für $x$ , $- x$ einsetzen.

$f (x)$	$=$	$2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}}$
$f (- x)$	$=$	$2 (- x) \cdot e^{- 0,5 (- x)^{2}}$
	↓	Beim Quadrieren bleibt der Term immer Positiv.
	$=$	$2 (- x) \cdot e^{- 0,5 x^{2}}$
	$=$	$- 2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}}$
	$=$	$- f (x)$

Außerdem bestimmen wir den Grenzwert gegen $+ \infty$ :

$\lim_{x \to \infty} f (x)$	$=$	$\lim_{x \to \infty} 2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}}$
	↓	Forme die Potenz um.
	$=$	$\lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{0,5 x^{2}}}$
	↓	Zähler und Nenner gehen jeweils gegen $+ \infty$
	$=$	$\lim_{x \to \infty} \frac{\overset{+ \infty}{\overset{⏞}{2 x}}}{\underset{+ \infty}{\underset{⏟}{e^{0,5 x^{2}}}}}$
	↓	Wegen der e-Funktion wächst der Nenner jedoch viel schneller und somit geht die Funktion insgesamt gegen null.
	$=$	$0$

Teilaufgabe b)

Die Extrema der Funktion werden durch das Bilden und Nullsetzen der 1. Ableitung bestimmt.

$f^{'} (x)$	$=$	${(2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}})}^{'}$
	↓	Wende dafür die Produktregel an. Achte dabei darauf, bei der e-Funktion die Kettenregel anzuwenden.
	$=$	$2 \cdot e^{- 0,5 x^{2}} + 2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}} \cdot (- x)$
	↓	Faktorisiere, um auf das Zwischenergebnis zu kommen.
	$=$	$2 \cdot e^{- 0,5 x^{2}} \cdot (1 - x^{2})$
	↓	Setze die Ableitungsfunktion Null um die Extrema zu berechnen.
$0$	$=$	$2 \cdot e^{- 0,5 x^{2}} \cdot (1 - x^{2})$
	↓	Da die e-Funktion keine Nullstellen hat, muss nur der zweite Faktor null werden.
$0$	$=$	$1 - x^{2}$	$+ x^{2}$
$x^{2}$	$=$	$1$
$x_{1 / 2}$	$=$	$\pm 1$

Setze in $f (x)$ ein, um die dazugehörigen Funktionswerte zu erhalten: $f (1) = 2 \cdot e^{- 0,5} = \frac{2}{\sqrt{e}}$

Nach Aufgabenstellung ist dies der Punkt des Hochpunkts: $H (1 | \frac{2}{\sqrt{e}})$

Auf dieselbe Weise erhalten wir: $T (- 1 | - \frac{2}{\sqrt{e}})$

Teilaufgabe c)

Änderungsrate

Für die mittlere Änderungsrate musst du die Steigung zwischen den beiden Punkten der Intervalle berechnen:

$m_{s}$ von $f$ im Intervall $[- 0,5; 0,5]$

$m_{s}$	$=$	$\frac{f (0,5) - f (- 0,5)}{0,5 - (- 0,5)}$
	↓	Setze die Werte in die Funktion ein und fasse zusammen.
	$\approx$	$1,76$

Um die lokale Änderungsrate an der Stelle $x_{0} = 0$ zu berechnen, setze $0$ in die Ableitung $f^{'}$ ein:

$f^{'} (0)$	$=$	$2 \cdot e^{- 0,5 \cdot 0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$2$
	$=$	$m_{T}$

Berechne den prozentualen Anteil:

\frac{m_{S}}{m_{T}} = \frac{1,765}{2} = 0,882 \hat{=} 88,2 %

Daher ist die prozentuale Abweichung $100 % - 88,2 % = 11,8 %$ .

Teilaufgabe d)

Wir überprüfen die Integralfunktion:

f (x) = 2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}}

A (u) = 2 - 2 e^{- 0,5 \cdot u^{2}}

Das Integral beschreibt die Fläche zwischen der x-Achse und einem Graphen. Du müsstest das bestimmte Integral im Intervall $[0; u]$ berechnen und hierfür die Stammfunktion von $f (x)$ herausfinden. Da jedoch in der Aufgabenstellung nur verlangt ist, dass man zeigt, ob $A (u)$ diese Fläche beschreibt, ist es ausreichend nachzuweisen, ob die angegebene Funktion $A (u)$ tatsächlich die Stammfunktion $F (u)$ von der Funktion $f (u)$ ist.

Leite die Funktion $A (u)$ ab.

$A (u)^{'}$	$=$	${(2 - 2 e^{- 0,5 \cdot u^{2}})}^{'}$
	↓	Wende die Kettenregel an
	$=$	$- 2 e^{- 0,5 \cdot u^{2}} \cdot (- u)$
	$=$	$2 u \cdot e^{- 0,5 \cdot u^{2}}$
	$=$	$f (u)$

Bestimmte den Grenzwert gegen $+ \infty$ .

$\lim_{u \to \infty} A (u)$	$=$	$\lim_{u \to \infty} 2 - 2 \cdot e^{- 0,5 u^{2}}$
	↓	Forme die Potenz um.
	$=$	$\lim_{u \to \infty} 2 - \frac{2}{e^{0,5 u^{2}}}$
	↓	Der Bruch geht gegen $0$ .
	$=$	$\lim_{u \to \infty} 2 - \frac{2}{\underset{+ \infty}{\underset{⏟}{e^{0,5 u^{2}}}}}$
	↓	Somit geht die Funktion gegen 2.
	$=$	$2$

Die Fläche unterhalb des Graphen nimmt immer zu, wird jedoch nie größer oder gleich $2 FE$ .

Teilaufgabe e)

Gefragt ist nach der Fläche zwischen den beiden Graphen. Zunächst benötigt man die Grenzen der Integration, welche durch die Schnittpunkte der Funktionen gegeben sind.

h : y = \frac{2}{e^{2}} \cdot x

f (x) = 2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}}

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen:

$\frac{2}{e^{2}} \cdot x$	$=$	$2 x \cdot e^{- 0,5 x^{2}}$	$: 2$
$\frac{1}{e^{2}} \cdot x$	$=$	$x \cdot e^{- 0,5 x^{2}}$	$- \frac{x}{e^{2}}$
$0$	$=$	$x \cdot e^{- 0,5 x^{2}} - \frac{x}{e^{2}}$
	↓	Faktorisiere die Gleichung.
	$=$	$x \cdot (e^{- 0,5 x^{2}} - \frac{1}{e^{2}})$
	↓	Der erste Faktor wird für $x = 0$ null.
$x_{1}$	$=$	$0$

Der zweite Faktor wird ebenfalls null gesetzt, um eine weitere Lösung zu finden:

$0$	$=$	$\frac{1}{e^{0,5 x^{2}}} - \frac{1}{e^{2}}$
	↓	Dafür muss nur die Potenz des ersten Zählers $2$ werden, da $\frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{e^{2}} = 0$ .
$0,5 x^{2}$	$=$	$2$	$: 0,5$
$x^{2}$	$=$	$4$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$x_{2,3}$	$=$	$\pm 2$

Zeichne die Gerade h.

Gesucht ist noch die Fläche $B$ . Dafür kannst du die Fläche, die die Gerade $h$ im Intervall $[0,2]$ mit der $x$ -Achse einschließt (die in der Zeichnung oben markierte Fläche) von der Fläche abziehen, die die Funktion $f$ im Intervall $[0,2]$ mit der $x$ -Achse einschließt ( $A (u)$ aus Teilaufgabe (d)).

𝑩 = A (2) - \int_{0}^{2} (h (x)) d x

Finde die Stammfunktion von $h (x)$ heraus.

$A (2) - \int_{0}^{2} (h (x)) d x$	$=$	$2 - 2 e^{- 0,5 \cdot 2^{2}} - {[\frac{x^{2}}{e^{2}}]}_{0}^{2}$
	$=$	$2 - 2 e^{- 0,5 \cdot 2^{2}} - (\frac{4}{e^{2}} - \frac{0}{e^{2}})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$2 - \frac{6}{e^{2}}$
	$\approx$	$1,19 FE$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org