Gemischte Aufgaben zu Proportionalität und Dreisatz

Um diese Teilaufgabe zu bearbeiten, bietet es sich an systematisch Zahlenpaare durchzuprobieren.

Dabei stellt man fest, dass $(\mathrm{0,8}|\mathrm{0,8})$ das Zahlenpaar ist, das den kleinsten Summenwert liefert und dessen Zahlen den Produktwert $\mathrm{0,64}$ haben.

Ausführlicher Lösungsvorschlag:

Wie oben erwähnt, kann man diese Aufgabe lösen, indem man systematisch Zahlenpaare durchprobiert.

Dabei kannst du ausnutzen, dass die gestellte Frage gleich dazu ist, nach jenem Zahlenpaar positiver Zahlen zu fragen, dessen Produktwert $64$ ergibt, da du das Komma problemlos verschieben kannst.

Die Primfaktorzerlegung von $64$ lautet

Daraus kannst du Paare ablesen, deren Produktwert $64$ ist. Diese sind $(2|32),(32|2),(4|16),(16|4),(8|8)$. Sie sind, zusammen mit $(64|1)$ und $(1|64)$, die einzigen positiven, ganzzahligen Paare.

Natürlich gibt es auch weitere Zahlenpaare, sodass deren Produkt $64$ ergibt, z.B. $(128|\mathrm{0,5})$ oder $((96|\frac{2}{3})$. Sie alle haben aber eine Zahl, die größer ist als $64$ (andernfalls wäre diese Zahl ein Teiler von $64$. Die Paare, bei denen dies der Fall ist, sind aber oben bereits abgedeckt). Der Summenwert dieser Zahlenpaare ist also in jedem Fall größer als $64$.

Du erkennst nun sofort, dass das Paar $(8|8)$ den kleinsten Summenwert, nämlich $16$, liefert. Für die ursprüngliche Frage bedeutet das nun, dass $(\mathrm{0,8}|\mathrm{0,8})$ jenes Zahlenpaar ist, das den kleinsten Summenwert besitzt und dessen Produkt $\mathrm{0,64}$ ergibt.