Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Damit ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht, muss er ein lineares Vielfaches des Normalenvektors sein. Es muss also eine Zahl geben mit der man den Vektor multipliziert, um den Normalenvektor zu erhalten.

$P(1|0|2)$,$Q(5|2|6)$

$\overrightarrow{n_E}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Bilde den Richtungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ der Geradengleichung.

$\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}5-1\\ 2-0\\ 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Untersuche auf lineare Abhängigkeit von $\overrightarrow{n_E}$.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

Die Gleichung ist für $k=\frac{1}{2}$ erfüllt!

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Somit steht die Gerade senkrecht auf der Ebene.

Dass $P$ und $Q$ symmetrisch zur Ebene $F$ liegen, bedeutet, dass $F$ in der Mitte der beiden Punkte liegen muss und der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf $F$ steht.

$P(1|0|2),$ $Q(5|2|6)$

Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overrightarrow{PQ}$.

$\overrightarrow{M}=\frac{1}{2}\cdot [\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)]=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Dass $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf $F$ und auf $E$ steht (Ergebnis aus Teilaufgabe a) bedeutet, dass beide Ebenen denselben Normalenvektor haben.

$F:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+n_0=0$

$F:2x_1+x_2+2x_3+n_0=0$

Die Ebene $F$ enthält den Punkt $M$. Setze ihn in die Ebenengleichung ein, um $n_0$ zu bekommen.

$2\cdot 3+1+2\cdot 4+n_0=0$ $15+n_0=0$ $n_0=-15$

Schreibe die fertige Ebenengleichung auf.

$F:2x_1+x_2+2x_3=15$