Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Wenn $f$ eine zur zur y-Achse symmetrische Funktion sein soll, muss für den Funktionsterm gelten $f(x^2)$, d.h. die Variable kommt nur quadratisch vor.

Senkrechte Asymptoten können sich an den Nullstellen des Nenners von gebrochenrationalen Funktionen ergeben.

Eine Lösung der Aufgabe ist zum Beispiel durch den Funktionsterm

$f(x^2)=\frac{1}{x^2-4}$

gegeben.

Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat für $x=2$ (und dann natürlich auch für $x=-2$) die geforderte senkrechte Asymptote.

Zusatz

Eine andere - anspruchsvollere - Lösung wäre zum Beispiel der Funktionsterm

$f(x^2)=e^{\frac{1}{x^2-4}}$

Das bestimmte Integral

$${\displaystyle {\int }_0^{2}g(x)\mathrm{d}x=0}$$ ergibt eine Flächenbilanz des Graphen von $g$, bei der sich im Integrationsbereich $[0;2]$ die negativen Flächenteile (unterhalb der x-Achse) mit den positiven (oberhalb der x-Achse) genau aufheben.

Das passiert zum Beispiel, wenn $g$ eine punktsymmetrische Funktion mit dem Symmetriezentrum $(1|0)$ ist.

Ein einfaches Beispiel dafür ist die lineare Funktion mit dem Funktionsterm $g(x)=x-1$ ist.

Graphische Veranschaulichung

Weitere Beispiele wären

1. Lineare Funktionen der Form $g_a(x)=a(x-1)$ mit $a\ne 0$

2. Ganzrationale Funktionen höheren und ungeraden Grades der Form $g_n(x)=(x-1{)}^n$ mit $n=3;5;7;...$

3. Auch trigonometrische Funktionen kommen in Frage. Beispiel: $g(x)=sin(\pi x)$