Aufgaben zur Lage von Punkten

Lösung für den Punkt $P$

Setze den Punkt $P\left(0|-6|3\right)$ für $\overrightarrow{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Damit erhältst du drei Gleichungen:

$\begin{array}{ccccccc}(\mathrm{I}):& 0& =& 1& +& r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& -6& =& -1& +& 5r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& 3& =& 2& -& r& \end{array}$

Berechne die Werte von $r$:

$\begin{array}{ccccc}(\mathrm{I}):& r& =& -1& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& -1& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& -1& \end{array}$

In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $-1$.

Antwort: Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$.

Lösung für den Punkt $Q$

Setze den Punkt $Q(-1\left|2\right|-1)$ für $\overrightarrow{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Damit erhältst du drei Gleichungen:

$\begin{array}{ccccccc}(\mathrm{I}):& -1& =& 1& +& r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& 2& =& -1& +& 5r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& -1& =& 2& -& r& \end{array}$

Berechne die Werte von $r$:

$\begin{array}{ccccc}(\mathrm{I}):& r& =& -2& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& \frac{3}{5}& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& 3& \end{array}$

Weil $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, kann der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden liegen.

Antwort: Der Punkt $Q$ liegt nicht auf der Geraden $g$.

Lösung für den Punkt $R$

Setze den Punkt $R(3|1|2)$ für $\overrightarrow{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Damit erhältst du drei Gleichungen:

$\begin{array}{ccccccc}(\mathrm{I}):& 3& =& -1& +& 4r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& 1& =& 3& -& 2r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& 2& =& -1& +& 2r& \end{array}$

Berechne die Werte von $r$:

$\begin{array}{ccccc}(\mathrm{I}):& r& =& 1& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& 1& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& \frac{3}{2}& \end{array}$

In den Gleichungen $(\mathrm{I})$ und $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ hat zwar $r$ den gleichen Wert $r=1$, in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ aber nicht. Hier hat $r$ den Wert $r=\frac{3}{2}$.

Da $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, liegt der Punkt $R$ nicht auf der Geraden.

Antwort: Der Punkt $R$ liegt nicht auf der Geraden $g$.

Lösung für den Punkt $T$

Setze den Punkt $T(-6|9|0)$ für $\overrightarrow{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:

$\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 5\\ -1\end{array}\right)$

Damit erhältst du drei Gleichungen:

$\begin{array}{ccccccc}(\mathrm{I}):& -6& =& 2& -& 4r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& 9& =& -1& +& 5r& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& 0& =& 2& -& r& \end{array}$

Berechne die Werte von $r$:

$\begin{array}{ccccc}(\mathrm{I}):& r& =& 2& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& 2& \\ (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& r& =& 2& \end{array}$

In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $2$.

Antwort: Der Punkt $T$ liegt auf der Geraden $g$.