Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Überlege dir eine Funktion, die sicher einen Wendepunkt hat. Hierzu gibt es keine Musterlösung, sondern mehrere Möglichkeiten. Zum Beispiel hat die Funktion $f(x)=x^3$ einen Wendepunkt bei $(0|0)$. Diese Funktion musst du jetzt noch so verschieben, dass der Wendepunkt bei $(2|0)$ ist.

$f(x)=x^3$ $g(x)=(x-2{)}^3$

$g$ ist eine mögliche Lösung.

Überlege dir eine Funktion, die entweder nur steigt oder nur fällt. Außerdem soll die Funktion nur links- oder nur rechtsgekrümmt sein. Solche Funktionen kann man dann an der $x$- oder $y$-Achse spiegeln, sodass sie rechtsgekrümmt und streng monoton fallend sind.

Beispiele sind $f(x)=e^x$ (steigend und linksgekrümmt) und $f(x)=lnx$ (steigend und rechtsgekrümmt) bzw. $f(x)=logx$ (steigend und rechtsgekrümmt).

$f(x)=e^x$ ist linksgekrümmt und steigend.

Jetzt hast du die Möglichkeit den Graphen an den Achsen zu spiegeln. Spiegelst du ihn an der $y$-Achse, ist er zwar fallend, aber immer noch linksgekrümmt. Spiegelst du den Graphen an der $x$-Achse hast du eine Rechtskrümmung und der Graph fällt. Damit hast du es geschafft. Wie spiegelt man an der $x$-Achse?

$f(x)=-e^x$

Alternativ könntest du $f(x)=ln(x)$ verwenden. Er ist steigend und rechtsgekrümmt. Wenn du ihn an der $y$-Achse spiegelst, ist er fallend und linksgekrümmt.

Wie spiegelt man an der $y$-Achse?

$f(x)=ln(-x)$

Das wäre also eine weitere Lösungsmöglichkeit für $f$.