Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Definitionsbereich bestimmen

Überlege dir, wo die Funktion definiert ist und wo nicht.

Der Nenner darf nicht Null werden: Nenner wird Null bei $x=0$

Der $ln(x)$ ist nur für positive $x$ definiert.

$\Rightarrow$ $D={ℝ}^{+}=]0;\infty [$

Nullstelle von $f$

$\begin{array}{rrl}f(x)& =& \frac{lnx}{x^2}\\ 0& =& \frac{lnx}{x^2}& |\cdot x^2\\ 0& =& lnx\\ e^0& =& e^{ln(x)}& |e^{()}\\ 1& =& x\end{array}$

Oder du überlegst dir statt der letzten zwei Umformungen, wann der $lnx$ Null wird. Genau, bei $1$! Daraus folgt:

$x=1$

Limes ausrechnen

${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln x}{x^2}$

Was passiert, wenn der natürliche Logarithmus gegen $0$ geht? Dieser wird gegen $-\infty$ gehen. Was passiert, wenn du in $x^2$ sehr kleine Zahlen einsetzt? Sie werden noch kleiner. Du teilst also etwas ganz großes negatives durch etwas ganz kleines positives (wegen dem Quadrat), es bleibt also ganz groß und negativ.

Eine waagrechte Tangente bedeutet, dass die Funktion keine Steigung hat, also die Ableitung Null ist. Dazu musst du erst einmal die Ableitung ausrechnen. Verwende die Quotientenregel.

$f(x)=\frac{u}{v}$

$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}$

$$\begin{array}{rrl}{\displaystyle f^{\prime }(x)}& =& {\displaystyle \frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-lnx\cdot 2x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x-lnx\cdot 2x}{x^4}}\end{array}$$

Suche die Nullstelle der Ableitung.

$\begin{array}{rrl}{f}^{\prime }(x)& =& {\displaystyle \frac{x-lnx\cdot 2x}{x^4}}\\ 0& =& {\displaystyle \frac{x(1-lnx\cdot 2)}{x^4}}\\ 0& =& {\displaystyle \frac{1-lnx\cdot 2}{x^3}}& |\cdot x^3\\ 0& =& 1-lnx\cdot 2& |+lnx\cdot 2\\ lnx\cdot 2& =& 1& |:2\\ lnx& =& \frac{1}{2}& |e^{()}\\ x& =& e^{\frac{1}{2}}\end{array}$

Da du im Teil $A$ keinen Taschenrechner hast, lässt du das Ergebnis einfach so stehen.

Somit ist die $x$-Koordinate gefunden.