Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist eine in $ℝ$ definierte ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades, deren Graph $G_{f}$ an der Stelle $x = 1$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x = 4$ einen Tiefpunkt besitzt.

Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ eine Parabel ist, welche die $x$ -Achse in den Punkten $(1 | 0)$ und $(4 | 0)$ schneidet und nach oben geöffnet ist. (3BE)
Da die Funktion $f$ den Grad $3$ hat, hat die Ableitung $f^{'}$ den Grad $2$ . Der Graph der Ableitung ist also eine Parabel.
Die Extremwerte der Funktion $f$ sind die Nullstellen der Ableitung $f^{'}$ , deswegen hat $f^{'}$ die Nullstellen $x = 1$ und $x = 4$ . Damit beinhaltet $f^{'}$ die Punkte $(1 | 0)$ und $(4 | 0)$ .
Der erste Extrempunkt ist ein Hochpunkt, daher steigt der Graph erst und fällt dann. Vor dem Tiefpunkt fällt er erst und steigt anschließend. Also stellst du fest: Es gibt erst positive Steigung, dann negative und zum Schluss wieder positive. Das heißt, die Ableitungsfunktion ist genauso erst positiv, dann negativ und zuletzt wieder positiv. Damit kann der zugehörige Graph, die Parabel, nur nach oben geöffnet sein.
Begründen Sie, dass $2,5$ die $x$ -Koordinate des Wendepunkts von $G_{f}$ ist. (2 BE)

Du weißt bereits aus der vorherigen Teilaufgabe, dass die Ableitungsfunktion hier die Form einer nach oben geöffneten Parabel hat. Du weißt außerdem, dass Extremstellen der Ableitung Wendestellen der Funktion sind. Nun musst du dir also noch überlegen, wo die Extremstelle der Parabel liegt.
Bei einer Parabel liegt die Extremstelle genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Du musst daher die Mitte von $x = 1$ und $x = 4$ finden: $\frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ . Die Extremstelle der Ableitung und damit auch die Wendestelle der Funktion liegt also bei $x = 2,5$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org