Aufgaben zum Erwartungswert

Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind. Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für

die Zufallsgröße $X$ : "Anzahl der Gewinnlose"
=E(X)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert bestimmen
$X$ : Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert $E (X)$
Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der
alle vorkommenden Werte von $X$ jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,
und dann alle diese Produkte addiert werden.
Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ .
Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:
mit oder ohne Zurücklegen?
mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?
Urnenmodell für diese Aufgabe:
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).
Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen: Für das Modell "Ziehen von $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N - S$ weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung: $P (X = k) = \frac{(\begin{array}{c} S \\ k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} N - S \\ n - k \end{array})}{(\begin{array}{c} N \\ n \end{array})}$ für die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ schwarze Kugeln zu erhalten. Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten $P (X = 0) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{1 \cdot 0}{252} = 0$ $P (X = 1) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{6 \cdot 1}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$ $P (X = 3) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 3 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{20 \cdot 6}{252} = \frac{120}{252} = \frac{10}{21}$ $P (X = 4) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{15 \cdot 4}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$ $P (X = 5) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{6 \cdot 1}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k
0
1
2
3
4
5
P(X=k)
0
$\frac{6}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{120}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{6}{252}$
Der Erwartungswert ist also: $E (X) = 0 + 1 \cdot \frac{6}{252} + 2 \cdot \frac{60}{252} + 3 \cdot \frac{120}{252} + 4 \cdot \frac{60}{252} + 5 \cdot \frac{6}{252} = \frac{756}{252} = 3$
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.
die Zufallsgröße $Y$ : "Anzahl der Nieten"
=E(Y)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert bestimmen
$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen. Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$
Möglichkeit 1:
Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert $E (Y)$ sehr schnell so bestimmen:
$E (Y) = ?$
Da $X$ die Anzahl der Gewinnlose und $Y$ die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss $X + Y$ stets gleich 5 sein.
Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.
$E (X) + E (Y) = 5$
Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach $E (Y)$ umstellen,
$E (Y) = 5 - E (X)$
und dann $E (X) = 3$ einsetzen.
$E (Y) = 5 - 3 = 2$
Möglichkeit 2:
Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:
$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.
Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$
Urnenmodell für diese Aufgabe:
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind). Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1. Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit $S$ schwarzen und $N - S$ weißen Kugeln" die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt: $P (X = k) = \frac{(\begin{array}{c} S \\ k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} N - S \\ n - k \end{array})}{(\begin{array}{c} N \\ n \end{array})}$ Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. $P (Y = 0) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{1 \cdot 6}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$ $P (Y = 1) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{4 \cdot 15}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$ $P (Y = 3) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 3 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{4 \cdot 15}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$ $P (Y = 4) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{1 \cdot 6}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$ $P (Y = 5) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{0 \cdot 1}{252} = 0$ Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
k
0
1
2
3
4
5
P(Y=k)
$\frac{6}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{120}{252}$
$\frac{60}{252}$
$\frac{6}{252}$
0
Der Erwartungswert ist also: $E (Y) = 0 + 1 \cdot \frac{60}{252} + 2 \cdot \frac{120}{252} + 3 \cdot \frac{60}{252} + 4 \cdot \frac{6}{252} + 5 \cdot 0 = 2$
Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.

k	0	1	2	3	4	5
P(X=k)	0	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$

k	0	1	2	3	4	5
P(Y=k)	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$	0

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zum Erwartungswert

Möglichkeit 1:

Möglichkeit 2: