Gemischte Aufgaben zu Zufallsgrößen

1. Zur Zufallsgröße $X$:

Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ zu bestimmen, überlege dir erst, welche Werte $X$ überhaupt annehmen kann. Die Augenzahl der beiden Würfel kann den Wert 2,3 und 4 annehmen. Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:

P(X=2)=$\frac{1}{4}$

P(X=3)=$\frac{2}{4}$

P(X=4)=$\frac{1}{4}$

2. Zur Zufallsgröße $Y$:

Überlege dir wieder welche Werte $Y$ überhaupt annehmen kann. $Y$ kann nur die Werte 1,2 und 4 annehmen.

Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:

$P(Y=1)=$ $\frac{1}{4}$

$P(Y=2)=\frac{1}{2}$

P(Y=4)=$\frac{1}{4}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ sieht also so aus:

Der Erwartungswert der Zufallsvariable $X$ berechnet sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$E(X)=2\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}=3$

Der Erwartungswert der Zufallsvariable $Y$ lässt sich genauso berechnen:

$E(Y)=1\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}=\mathrm{2,25}$

Auch die Varianz lässt sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen:

Zuerst berechnet man $E(X^2)$

$E(X^2)=(\frac{1}{4})\cdot 4+(\frac{1}{2})\cdot 9+(\frac{1}{4})\cdot 16=\mathrm{9,5}$

Also ist die Varianz von $X$: $Var(X)=\mathrm{9,5}-3^2=\mathrm{0,5}$

Die Standardabweichung ist dann $\sigma (X)=\sqrt{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{0,707}$.

Die Varianz von $Y$ berechnet sich ebenso:

$E(Y^2)=1\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{2}+16\cdot \frac{1}{4}=\mathrm{6,25}$

Also ist die Varianz von $Y$:

$Var(Y)=\mathrm{6,25}-{\mathrm{2,25}}^2=\mathrm{1,1875}$

Die Standardabweichung ist dann $\sigma (Y)=\sqrt{\mathrm{1,1875}}\approx \mathrm{1,09}$.