Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Bierschaumzerfall

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs $10 c m$ . Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Die allgemeine Zerfallsgleichung lautet $f (t) = f_{0} \cdot (1 - p)^{t}$
Setze die gegebenen Werte ( $t$ in min, $f (t)$ in $c m$ ) ein.
$0,5 \cdot 10$ $=$ $10 \cdot (1 - p)^{3}$ $: 10$
$0,5$ $=$ $(1 - p)^{3}$ $\sqrt[3]{}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ $=$ $1 - p$ $+ p - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$p$ $=$ $1 - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
Mit dem Zerfallsfaktor $p$ und dem Startwert kannst du jetzt die Zerfallsgleichung aufstellen.
$f (t) = 10 \cdot {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$
Berechne, wann die Schaumhöhe auf $1 c m$ zurückgegangen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Setze $f (t) = 1$ .
$1$ $=$ $10 {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$ $: 10$
$0,1$ $=$ ${(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$ $\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}$
$\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})} 0,1$ $=$ $t$
$10$ $\approx$ $t$
Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch $3 c m$ . Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Da es die Zerfallsgleichung ist, und 3 min die Halbwertszeit ist (laut Angabe), betrug die Schaumhöhe zu Beginn $f_{0} = 3 \cdot 2 = 6$ .
Falls du das nicht siehst, kannst du auch die Werte einsetzen.
$f_{0} {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{3}$ $=$ $3$
$f_{0} \cdot \frac{1}{2}$ $=$ $3$ $\cdot 2$
$f_{0}$ $=$ $6$
Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner $1$ ist.
Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$0,5 \cdot 10$	$=$	$10 \cdot (1 - p)^{3}$	$: 10$
$0,5$	$=$	$(1 - p)^{3}$	$\sqrt[3]{}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$	$=$	$1 - p$	$+ p - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$p$	$=$	$1 - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

$1$	$=$	$10 {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$	$: 10$
$0,1$	$=$	${(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{t}$	$\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}$
$\log_{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})} 0,1$	$=$	$t$
$10$	$\approx$	$t$

$f_{0} {(\sqrt[3]{\frac{1}{2}})}^{3}$	$=$	$3$
$f_{0} \cdot \frac{1}{2}$	$=$	$3$	$\cdot 2$
$f_{0}$	$=$	$6$