weiterführende Aufgaben zum Hypothesentest

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm{H}}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Es wird vermutet, dass $75\%$ der Schüler zur Realschule wechselt.

Die Nullhypothese geht daher von einer Konstanz des Zustimmungsverhaltens aus: ${\mathrm{H}}_0$: $\mathrm{p}=\mathrm{0,75}$.

Formuliere nun die Gegenhypothese ${\mathrm{H}}_1$

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm{H}}_1$:  $\mathrm{p}\ne \mathrm{0,75}$, d.h. es wechseln nicht $75\%$ der Schüler auf die Realschule.

Es handelt sich also um einen zweiseitigen Signifikanztest.

Bestimme die Entscheidungsregel.

$\alpha \le \mathrm{0,05}$

Der Fehler 1. Art ist also kleiner gleich $5\%$.

Bestimme also $k_1,k_2$, sodass

$P_{\mathrm{0,75}}^{100}(k_2\le X\le k_1)\le \mathrm{0,05}$

D.h., dass die Anzahl der Schüler X unter dem kritischen Wert $k_1$ bzw. über dem zweiten kritischen Wert $k_2$ liegt, obwohl die Wahrscheinlichkeit nach wie vor $75\%$ ist.

$\iff P_{\mathrm{0,75}}^{100}(X\le k_1)+P_{\mathrm{0,75}}^{100}(k_2\le X)\le \mathrm{0,05}$

Teile in zwei Formel auf.

i) $P_{\mathrm{0,75}}^{100}(X\le k_1)\le \frac{\alpha }{2}\text{}$

ii) $P_{\mathrm{0,75}}^{100}(k_2\le X)\le \frac{\alpha }{2}$

Löse die Gleichungen einzeln.

i)$P_{\mathrm{0,75}}^{100}(X\le k_1)\le \mathrm{0,025}$

Lässt sich direkt aus dem Tafelwerk ablesen.

$\Rightarrow k_1=65$

ii) $P_{\mathrm{0,75}}^{100}(k_2\le X)\le \mathrm{0,025}$

Formuliere zur Gegenwahrscheinlichkeit um.

$1-P_{\mathrm{0,75}}^{100}(X\le k_2-1)\le 1-\mathrm{0,975}$

Forme um.

$P_{\mathrm{0,75}}^{100}(X\le k_2-1)\ge \mathrm{0,975}$

Lässt sich direkt aus dem Tafelwerk ablesen.

$\Rightarrow k_2-1=83$ $\Rightarrow k_2=84$

Der Annahmebereich ist also $A=\{\mathrm{66,67},\dots ,82,83\}$, der Ablehnungsbereich ist $\bar{A}=\{\mathrm{0,1,2},\dots ,\mathrm{65,84,85},\dots ,100\}.$

Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn nach wie vor $75\%$ der Schüler auf die Realschule wechseln, aber die Hypothese trotzdem abgelehnt wird.

Verwende die exakten Werte aus dem Tafelwerk, um ihn zu berechnen

i) $P_{\mathrm{0,75}}^{100}(X\le 65)=\mathrm{0,01643}$

ii) $1-P_{\mathrm{0,75}}^{100}(X\le 83)=1-\mathrm{0,97889}=\mathrm{0,02111}$

Addiere die Teilfehler zusammen.

$\Rightarrow \mathrm{0,01643}+\mathrm{0,02111}=\mathrm{0,03754}\approx \mathrm{3,8}\%$ ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen.

Durch die Angabe einer zweiten Wahrscheinlichkeit handelt es sich nun um einen Alternativtest. Hier berechnet sich der Fehler 2. Art genau wie der 1. Art, bloß für die andere Hypothese.

Bestimme also die Wahrscheinlichkeit, dass $X\in A$ viele Schüler auf die Realschule wechseln, obwohl sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf $\mathrm{0,7}$ reduziert hat.

$P_{\mathrm{0,7}}^{100}(X\in A)=P_{\mathrm{0,7}}^{100}(X\le 83)-P_{\mathrm{0,7}}^{100}(X\le 65)$

Da X zwischen 66 und 83 liegen muss.

Lies die Werte aus dem Tafelwerk ab.

$=\mathrm{0,99903}-\mathrm{0,16286}=\mathrm{0,83617}\approx \mathrm{83,6}\%$

⇒ Die Chance einen Fehler 2. Art zu begehen ist in diesem Fall ca. $\mathrm{83,6}\%$. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit ist so hoch, weil sich p nur sehr wenig verändert hat. Um das sicher festzustellen, müsste man einen sehr viel längeren Test machen.