Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.

• $M$: Person ist männlich

• $S$: Person schwimmt

• $F$: Person spielt Fußball

• $L$: Person geht Laufen

Erstelle Sechsfeld-Tafel

Zeichne eine leere Sechsfeld-Tafel mit Feldern für die Ereignisse $M\cap S$, $M\cap F$, $M\cap L$, $\overline{M}\cap S$, $\overline{M}\cap F$, $\overline{M}\cap L$, $M$, $\overline{M}$, $S$, $F$ und $L$, sowie ein Feld für die Gesamtanzahl von Ereignissen.

$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{S}& \mathrm{F}& \mathrm{L}& \\ \mathrm{M}& & & & \\ \overline{\mathrm{M}}& & & & \\ & & & & \end{array}$

Trage die direkt ersichtlichen Informationen aus der Aufgabenstellung ein.

$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{S}& \mathrm{F}& \mathrm{L}& \\ \mathrm{M}& 2& & & 26\\ \overline{\mathrm{M}}& & 2& & 28\\ & 14& & & \end{array}$

Berechne die Gesamtanzahl der Schüler und Schülerinnen und damit die Anzahl der Fußballer und Läufer.

$26+28=54$ Gesamtanzahl

$54-14=40$ Nichtschwimmer

$\text{}\frac{2}{5}\cdot 40=16$ Fußballer

$40-16=24$ Läufer

Trage die Werte in die Sechsfeld-Tafel ein.

$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{S}& \mathrm{F}& \mathrm{L}& \\ \mathrm{M}& 2& & & 26\\ \overline{\mathrm{M}}& & 2& & 28\\ & 14& 16& 24& 54\end{array}$

Ergänze die fehlenden Felder, indem du von der Anzahl der Ereignisse $S$ die Anzahl der Ereignisse $M\cap S$ abziehst und von der Anzahl der Ereignisse $F$ die Anzahl der Ereignisse $\overline{M}\cap F$ abziehst.

$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{S}& \mathrm{F}& \mathrm{L}& \\ \mathrm{M}& 2& 14& & 26\\ \overline{\mathrm{M}}& 12& 2& & 28\\ & 14& 16& 24& 54\end{array}$

Ergänze nun die beiden letzten fehlenden Felder.

$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{S}& \mathrm{F}& \mathrm{L}& \\ \mathrm{M}& 2& 14& 10& 26\\ \overline{\mathrm{M}}& 12& 2& 14& 28\\ & 14& 16& 24& 54\end{array}$

Formuliere die Frage um: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Fußball spielen möchte, wenn bekannt ist, dass diese Person ein Mädchen ist.

Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{M}}(F)$.Schreibe dazu zunächst die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit auf.

$P_{\overline{M}}(F)=\frac{P(\overline{M}\cap F)}{P(\overline{M})}$

Lese aus der Sechsfeld-Tafel die Wahrscheinlichkeiten $P(\overline{M}\cap F)$ und $P(\overline{M})$ ab.

$P(\overline{M}\cap F)=\frac{2}{54}$

$P(\overline{M})=\frac{28}{54}$

Berechne nun die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{M}}(F)$

$P_{\overline{M}}(F)=\frac{P(\overline{M}\cap F)}{P(\overline{M})}=\frac{\frac{2}{54}}{\frac{28}{54}}=\frac{2}{28}=\mathrm{0,07}$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen Fußball spielt ist 7,14 %. Offenbar ist die Fußballleidenschaft stark geschlechtsabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge oder Mädchen Fußball spielt ist vergleichsweise 29,6 %.

Formuliere die Frage um: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Mädchen ist, wenn bekannt ist, dass diese Person Fußball spielt.

Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_F(\overline{M})$. Schreibe dazu zunächst die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit auf.

$P_F(\overline{M})=\frac{P(\overline{M}\cap F)}{P(F)}$

Lese aus der Sechsfeld-Tafel die Wahrscheinlichkeiten $P(\overline{M}\cap F)$ und $P(F)$ ab.

$P(\overline{M}\cap F)=\frac{2}{54}$

$P(F)=\frac{16}{54}$

Berechne nun die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_F(\overline{M})$

$P_F(\overline{M})=\frac{P(\overline{M}\cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{54}}{\frac{16}{54}}=\frac{2}{16}=\mathrm{0,125}$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einer Person, die Fußball spielt, um ein Mädchen handelt, ist 12,5 %.