Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$

Distributivgesetz anwenden.  $-\frac{1}{2}$ ausklammern.

$=-\frac{1}{2}(x^2-4x-2)=$

Quadratische Ergänzung.

$=-\frac{1}{2}(x^2-4x+{\left(\frac{4}{2}\right)}^2-{\left(\frac{4}{2}\right)}^2-2)=$

Schreibe in eine Binomische Formel um.

$=-\frac{1}{2}({(x-\frac{4}{2})}^2-{\left(\frac{4}{2}\right)}^2-2)=$

$=-\frac{1}{2}({(x-2)}^2-2^2-2)=$

$=-\frac{1}{2}({(x-2)}^2-4-2)=$

$=-\frac{1}{2}({(x-2)}^2-6)=$

Wende das Distributivgesetz an.

$=-\frac{1}{2}{(x-2)}^2-6\cdot (-\frac{1}{2})=$

$=-\frac{1}{2}{(x-2)}^2+3$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}\left(2|3\right)$

Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen: Nullstelle berechnen

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$

Wende die Mitternachtsformel an. Dazu erst die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=2^2-4\cdot (-\frac{1}{2})\cdot 1=$

$=4-4\cdot (-\frac{1}{2})=$

$=4+2=6$

→ 2 Lösungen. Wende die Mitternachtsformel an.

$x_1=\frac{-2+\sqrt{D}}{2\cdot (-\mathrm{0,5})}=2-\sqrt{6}$

$\to \text{}{P}_{x_1}(2-\sqrt{6}|0)Px1\text{}\text{}(2-6\text{}\text{∣}0)$

$x_2=\frac{-2-\sqrt{D}}{2\cdot (-\mathrm{0,5})}=2+\sqrt{6}$

$\to$ $P_{x_1}(2+\sqrt{6}|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$

Setze x gleich 0.

$f\left(0\right)=-\frac{1}{2}{0}^2+2\cdot 0+1=1$

$\to$ $P_y\left(0|1\right)$

$P‘(-3|-1)$

0 $\to$ 3

Verschiebung um 3 Einheiten nach links.

-1 $\to$ 1

Verschiebung um 2 Einheiten nach unten.

Um eine Parabel zu verschieben, muss die Scheitelform nach vorherig gemachten Angaben verändert werden.

$f\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}{(x-2)}^2+3$ $\to$$g\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2+1$

Multipliziere die Funktion aus. Binomische Formel.

$=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+1=$

$=-\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}+1=$

$=-\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}$

Ansatz: $f(x)=g(x)$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$ ;

$g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1=-\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}$

Nach x auflösen.

$\iff 2x+1=-x+\frac{1}{2}$

$\iff$ $3x=-\frac{1}{2}$

$\iff$ $x=-\frac{1}{6}$

Setze den gefundenen x-Wert in eine der Anfangsgleichungen, um den zugehörigen y-Wert zu berechnen.

$f(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{2}\cdot {(-\frac{1}{6})}^2+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=$

$=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{36}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=$

$=-\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=$

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\to$$6$

$=-\frac{1}{72}+\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=$

$=-\frac{1}{72}+\frac{4}{6}=$

Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern . $\to$72

$=-\frac{1}{72}+\frac{48}{72}=$

$=\frac{47}{72}$

$\to \mathrm{S}(-\frac{1}{6}|\frac{47}{72})$