Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Ein Taucher interessiert sich wegen Unterwasseraufnahmen dafür, welche Helligkeit in verschiedenen Tiefen herrscht.

Messungen in einem bestimmten (recht trüben) See ergeben, dass die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um ca. 17% abnimmt.

Für diese Aufgabe musst du dich mit exponentiellem Wachstum auskennen

allg. Formel $H_{0} \cdot b^{x} = H$

Abnahmefaktor $b = 0,83$

Anfangswert $H_{0} = 1$ $(= 100 %)$

Exponent= $[x]$ in Metern

$[H]$ in Prozent

Wie groß ist die Helligkeit in 1m, 2m, 5m bzw. 10m Tiefe, verglichen mit der Helligkeit an der Wasseroberfläche?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
$x = 1 m$
$100 % \cdot 0,83 = 83 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x = 2 m$
$83 % \cdot 0,83 \cdot 0,83 = 68,89 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x = 5 m$
$68,89 % \cdot 0,83 \cdot 0,83 \cdot 0,83 = 39,39 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
$x = 10 m$
$39,39 % \cdot {0,83}^{5} = 15,52 %$ der Helligkeit an der Wasseroberfläche ist noch vorhanden.
Beschreiben sie die Helligkeit H als Funktion der Wassertiefe x als Bruchteil der Helligkeit $H_{0}$ an der Wasseroberfläche.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
Formel: $H_{0} \cdot {0,83}^{x} = H$
In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit weniger als $0,01 \cdot H_{0}$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: exponentielles Wachstum
$0,01 \cdot H_{0}$ $=$ $H$
$0,01 \cdot H_{0}$ $=$ $H_{0} \cdot {0,83}^{x}$ $: H_{0}$
↓
Kürze $H_{0}$ heraus.
$0,01$ $=$ ${0,83}^{x}$ $\log_{0,83} ()$
↓
Logarithmiere.
$\log_{0,83} (0,01)$ $=$ $x$
$24,72 m$ $=$ $x$
$\Rightarrow$ Ab einer Tiefe von ca. $24,72 m$ beträgt die Helligkeit weniger als $0,01 \cdot H_{0}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org