Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

allg. Formel

$a\cdot b^t=y$

Wachstumsfaktor $b$

Anfangswert $a=1$

Zeit $t$ in Minuten

Anzahl der Bakterien $y$

Gesucht ist der Wachstumsfaktor b

Gegeben:

Die Bakterien teilen sich alle 10 Minuten, das heißt ihre Anzahl verdoppelt sich alle 10 Minuten:

Die Formel für die Bakterien nach einer bestimmten Zeit t ist also gegeben durch:

$\Rightarrow {\mathrm{1,072}}^t=y$

Für $t=60\min$ (entspricht einer Stunde)

${\mathrm{1,072}}^{60}\approx 64$

Für $t=120\min$ (entspricht zweiStunde)

${\mathrm{1,072}}^{120}\approx 4201$

Für $t=360\min$ (entspricht sechs Stunden)

${\mathrm{1,072}}^{360}\approx 74151975970$

Für $t=720\min$ (entspricht zwölf Stunden)

${\mathrm{1,072}}^{12\cdot 60}\approx 5498515541\cdot {10}^{12}$

Für $t=1440\min$ (entspricht 24 Stunden)

${\mathrm{1,072}}^{24\cdot 60}\approx 3023367315\cdot {10}^{34}$

$1\cdot {\mathrm{1,072}}^t=N\left(t\right)$

Siehe 1. Teilaufgabe.

1. Volumen

Formel:

$2\cdot {10}^{-18}{m}^3\cdot {\mathrm{1,072}}^t=1m^3$

${\mathrm{1,072}}^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1m^3$ gleichgesetzt.

${\mathrm{1,072}}^t=5\cdot {10}^{17}$

Logarithmiere.

${\log }_{\mathrm{1,072}}(5\cdot {10}^{17})\approx \mathrm{586,16}$

Rechne $\mathrm{586,16}$ Minuten in Stunden um.

⇒ Es dauert ca. 9,77 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $1m^3$ erreicht hat.

2. Volumen

$2\cdot {10}^{-18}{m}^3\cdot {\mathrm{1,072}}^t=1000000000m^3$

${\mathrm{1,072}}^t$ entspricht der Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit. Das Produkt dieser Anzahl und dem Volumen einer einzelnen Bakterie wird mit dem gesuchten Volumen $1000000000m^3$ gleichgesetzt.

${\mathrm{1,072}}^t=5\cdot {10}^{26}$

Logarithmiere.

${\log }_{\mathrm{1,072}}(5\cdot {10}^{26})=\mathrm{884,22}$

⇒ Es dauert ca. 14,74 Stunden bis die Bakterienkultur ein Volumen von $\text{}1000000000m^3$ erreicht hat.

Vor allem letzteres Ergebnis ist kritisch zu betrachten, da das Labor selbst kaum ein Volumen von $1k{m}^3$ hat, sondern viel kleiner ist. Selbst wenn man merken würde, dass eine Bakterienkultur auf $1m^3$ anwächst, würde man dagegen etwas unternehmen! Trotzdem ist es interessant zu sehen, dass es theoretisch nur etwa $13$ Stunden dauern würde, bis sich Bakterien derart vermehren.