Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:

Wachstumsfaktor: $b=\mathrm{1,025}$

Anfangswert: $a=500$

Exponent: $\left[t\right]$ in Jahren

$\left[y\right]$ in Euro

Erhält Hans jährlich $\mathrm{2,5}\%$ Zinsen auf sein Kapital so beträgt sein Kontostand das $\mathrm{1,025}$-fache des vorherigen Betrags von $500$ Euro.

Gesucht ist jeweils $y$, wenn die Werte $1,2,5$ und $10$ für $t$ eingesetzt werden

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $1$

Nach einem Jahr ist sein Kontostand um das genau ${\mathrm{1,025}}^1$ -fache des vorherigen Betrages gestiegen.

$500\cdot {\mathrm{1,025}}^1=\mathrm{512,50}\text{Euro}$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = $2$

Nach zwei Jahren wird auf den vorherigen bezinsten Betrag erneut das $\mathrm{1,025}$ fache aufgeschlagen. Ein Zuwachs von  $\mathrm{1,025}\cdot \mathrm{1,025}$ also  $\mathrm{5,1}\%$ .

$500\cdot {\mathrm{1,025}}^2=\mathrm{525,31}\text{Euro}$

Exponent = $\left[t\right]$ in Jahren = 5

$500\cdot {\mathrm{1,025}}^5=\mathrm{565,70}\text{Euro}$

Exponent= $\left[t\right]$ in Jahren = 10

$500\cdot {\mathrm{1,025}}^{10}=\mathrm{640,04}\text{Euro}$

Allgemeine Formel für exponentielles Wachstum:

Wachstumsfaktor: $b=\mathrm{1,025}$

Anfangswert: $a=500$

Exponent: $\left[t\right]$ in Jahren

$\left[y\right]$ in Euro

Gesucht ist hierbei die Variable $\left[t\right]$ in Jahren, also die Anzahl der Jahre die verstreichen müssen, bis Hans 1000 Euro auf seinem Konto hat.

$\Rightarrow$ Im 29. Jahr besitzt Hans $1000€$ auf seinem Konto.

(Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung festgelegt ist, dass Hans erst am Ende des Jahres seine Zinsen gutschreiben lässt. Nach $\mathrm{28,1}$ Jahren hat er zwar theoretisch die $1000€$ erreicht, jedoch werden diese erst am Ende des Jahres, also nach insgesamt $29$ Jahren, auf seinem Konto erscheinen.)