Aufgaben zu Extremwerten

$\begin{array}{ccc}f(x)& =& 4-x^2\\ g(x)& =& (x-2{)}^2-6\end{array}$

Zeichne die Parabeln ein. Verwende dazu entweder die Technik aus dem verlinkten Artikel oder benutze eine Wertetabelle.

$\begin{array}{ccc}f(x)& =& 4-x^2\\ g(x)& =& (x-2{)}^2-6\end{array}$

Setze die beiden Funktionen gleich.

$4-x^2=(x-2{)}^2-6$

Bringe die quadratische Gleichung auf allgemeine Form

$2x^2-4x-6=0$

Berechne die Diskriminante .

$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 2\cdot (-6)=64$

Die Gleichung hat also zwei Lösungen, die mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnet werden können.

$\text{}{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{4\pm \sqrt{D}}{4}=\frac{4\pm 8}{4}\Rightarrow x_1=3,x_2=-1$

$\begin{array}{ccc}f(x)& =& 4-x^2\\ g(x)& =& (x-2{)}^2-6\end{array}$

Zu maximieren ist der Abstand zwischen den beiden Funktionen; die Extremalfunktion bestimmst du also mit  $f(x)-g(x)$ , da $f$ im Bereich $-1<x<3$  größer als $g$ ist.

$E(x)=f(x)-g(x)=-2x^2+4x+6$

Leite diese Funktion zweimal ab , um die Extremstelle bestimmen zu können.

$\text{}\begin{array}{ccc}{E}^{\prime }(x)& =& -4x+4\\ E^{\prime \prime }(x)& =& -4\end{array}$

Setze die erste Ableitung gleich Null , berechne x und setze in die zweite Ableitung ein, um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

$E^{\prime }(x)=-4x+4=0$

$x=1$

$E^{\prime \prime }(1)=-4$

$E(1)=8$

Die längste zwischen den Graphen verlaufende senkrechte Strecke ist also bei $x=1$ zu finden. Ihre Länge beträgt $8$ Längeneinheiten.

Nun musst du diese Strecke nur noch in die Zeichnung von Teilaufgabe a) einzeichnen. In der Grafik ist sie gestrichelt eingetragen.