Aufgaben zu Addition und Subtraktion

Bei einer Anordnung von Würfeln addiert man alle sichtbaren Augenzahlen, die nicht durch den Tisch oder Nachbarwürfel verdeckt sind.

Es werden drei Spielwürfel übereinander zu einem Turm aufgebaut. Wie groß ist die Augensumme?
Wie muss man die Würfel in diesem Turm anordnen, damit die Augensumme maximal wird?
Wie groß ist die maximale Augensumme bei einem Turm mit vier, fünf und n Würfel?

Die Augensumme gegenüberliegender Würfelseiten beträgt immer $7$ . Daher erhält man von den beiden unteren Würfeln jeweils einen Beitrag von $14$ zur Augensumme. Vom obersten Würfel erhält man von den vertikalen Seitenflächen ebenfalls einen Beitrag von $14$ zur Augensumme. Die Augensumme beträgt folglich $14 + 14 +$ die Augenzahl der Fläche, die nach oben zeigt.
Um die maximale Augensumme zu erreichen, muss beim obersten Würfel die 6 oben liegen.
Die maximale Augensumme beträgt bei $3$ Würfeln: $3 · 14 + 6 = 48$
Die maximale Augensumme bei $4$ Würfeln: $4 · 14 + 6 = 62$
Die maximale Augensumme bei $5$ Würfeln: $5 · 14 + 6 = 76$
Die maximale Augensumme bei $n$ Würfeln: $n · 14 + 6$
Es werden drei, vier, fünf und n Würfel nebeneinander in eine Reihe gelegt.
Wie groß ist dann die maximale Augensumme?

Von den inneren Würfeln der Reihe sind zwei gegenüberliegende Seiten mit der Augensumme $7$ und eine weitere Seite mit maximal $6$ Augen sichtbar. Von den Würfeln am Ende der Reihe sind zwei Seiten verdeckt.
drei Würfel: Die maximale Augensumme beträgt $13 + 2 · 18 = 49$ .
vier Würfel: Die maximale Augensumme beträgt $2 · 13 + 2 · 18 = 62$ .
fünf Würfel: Die maximale Augensumme beträgt $3 · 13 + 2 · 18 = 75$ .
$n$ Würfel: Die maximale Augensumme beträgt $(n - 2) · 13 + 2 · 18$ .
Es werden acht Würfel zu einem quadratischen Rahmen gelegt. Wie groß ist die maximale Augensumme?

Von den vier Eckwürfeln sind drei Seiten sichtbar, von denen keine Seiten gegenüberliegen ( $6 + 5 + 4 = 15$ ).
Von den vier anderen Würfeln sind ebenfalls drei Seiten sichtbar, von denen jedoch zwei gegenüberliegen ( $7 + 6 = 13$ ).
Somit beträgt die maximale Augensumme bei $8$ Würfeln $4 · 13 + 4 · 15 = 112$
Es werden neun, sechzehn, und $n^{2}$ Würfel zu einem Quadrat gelegt. Wie groß ist die maximale Augensumme?

neun Würfel: Die maximale Augensumme beträgt $4 · 11 + 4 · 15 + 6 = 110$
16 Würfel: Die maximale Augensumme beträgt $4 · 2 · 11 + 4 · 15 + 6 · 4 = 172$
$n^{2}$ Würfel: Die maximale Augensumme beträgt $4 \cdot (n - 2) \cdot 11 + 4 \cdot 15 + 6 \cdot {(n - 2)}^{2}$

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