Aufgaben zum Aufstellen von Termen mit Variablen aus Geometrie u. a.

Der Spielfeldrand eines Fußballfeldes der Breite $b$ und Länge $l$ soll von den Zuschauern den Abstand $x$ haben.

Christian, Monika und Peter schreiben Terme auf, die den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreiben:

Zeige, dass die Terme äquivalent sind.

Klaus stellt den Term $2 \cdot l \cdot x + 2 \cdot b \cdot x$ auf und behauptet, dass dieser auch den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreibt. Was meinst du dazu?

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot l \cdot x + 2 \cdot b \cdot x & \overset{?}{=} & 4 x^{2} + 2 x b + 2 l x \\ 2 l x + 2 b x & \neq & 4 x^{2} + 2 x b + 2 l x \end{array}$
$\Rightarrow$ Klaus Term beschreibt nicht den Flächeninhalt der Sicherheitszone da sein Term nicht äquivalent zu den anderen ist. Sein Term beschreibt nur den Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten des Spielfeldes $l$ bzw. $b$ .
In der Münchner Allianz-Arena ist das Spielfeld $105 m$ lang und $68 m$ breit. Der Sicherheitsabstand beträgt $7,5 m$ . Welchen Flächeninhalt hat die Sicherheitszone?

Term: $4 x^{2} + 2 x b + 2 x l$
Variablen durch gegebene Zahlen ersetzen.
$\begin{array}{l} 4 \cdot {7,5}^{2} + 2 \cdot 68 \cdot 7,5 + 2 \cdot 7,5 \cdot 105 \\ = 4 \cdot 7,52 + 2 \cdot 68 \cdot 7,5 + 2 \cdot 7,5 \cdot 105 \\ = 225 + 1020 + 1575 \\ = 2820 \end{array}$
$\Rightarrow$ Antwort: Der Flächeninhalt der Sicherheitszone beträgt $2820 m^{2}$ .

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$Term von Christian$	$=$	$Term von Monika$
	↓	Setze die Terme von Monika und Christian ein.
$2 \cdot (l + x) \cdot x + 2 \cdot (b + x) \cdot x$	$=$	$(2 x + l) \cdot (2 x + b) - l \cdot b$
	↓	Umformen & Klammer ausmultiplizieren.
$2 l x + 2 x^{2} + 2 b x + 2 x^{2}$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l + l b - l b$
	↓	Zusammenfassen.
$2 l x + 4 x^{2} + 2 b x$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l ✓$

$Term von Peter$	$=$	$Term von Monika$
	↓	Setze die Terme von Monika und Peter ein.
$x \cdot (l + x + x) \cdot 2 + x \cdot b \cdot 2$	$=$	$(2 x + l) \cdot (2 x + b) - l \cdot b$
	↓	Umformen & Klammer ausmultiplizieren.
$2 x l + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 b x$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l + l b - l b$
	↓	Zusammenfassen.
$2 x l + 4 x^{2} + 2 b x$	$=$	$4 x^{2} + 2 x b + 2 x l ✓$