Aufgaben mit zwei Unbekannten

Bestimme die Lösungsmengen folgender nicht-linearer Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\begin{array}{rcll} (I) & \frac{4}{x} + \frac{8}{y} & = & \frac{5}{3} \\ (II) & \frac{2}{x} - \frac{4}{y} & = & - \frac{1}{6} \end{array}$
wobei $x, y \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.
Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.
Hier eignet sich das Additionsverfahren. Wenn man die beiden Gleichungen so umformt, dass die Terme mit $x$ oder $y$ identisch sind, kann man die beiden umgeformten Gleichungen voneinander abziehen und muss nur noch eine Gleichung mit einer Variablen lösen.
Lösung mithilfe des Additionsverfahren
Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:
Gegeben: $\begin{array}{rcll} (I) & \frac{4}{x} + \frac{8}{y} & = & \frac{5}{3} \\ (II) & \frac{2}{x} - \frac{4}{y} & = & - \frac{1}{6} \end{array}$
Die Gleichung $(II)$ enthält den Term $- \frac{4}{y}$ und die Gleichung $(I)$ ein Vielfaches von $- \frac{4}{y}$ und zwar $\frac{8}{y}$ . Nimm also $(II)$ mal $2$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{8}{y}$ zu eliminieren.
$(II) \frac{2}{x} - \frac{4}{y}$ $=$ $- \frac{1}{6}$ $\cdot 2$
$({II}^{'}) \frac{4}{x} - \frac{8}{y}$ $=$ $- \frac{2}{6}$
Das neue Gleichungssystem lautet also:
$\begin{array}{rcll} (I) & \frac{4}{x} + \frac{8}{y} & = & \frac{5}{3} \\ ({II}^{'}) & \frac{4}{x} - \frac{8}{y} & = & - \frac{2}{6} \end{array}$
$(I) + ({II}^{'})$ :
$\begin{array}{rcll} (I) & \frac{4}{x} + \frac{8}{y} & = & \frac{5}{3} \\ + ({II}^{'}) & \frac{4}{x} - \frac{8}{y} & = & - \frac{2}{6} \end{array}$
$\frac{8}{x} = \frac{5}{3} - \frac{2}{6}$
Löse nun die neu entstandene Gleichung nach $x$ auf.
$\frac{8}{x}$ $=$ $\frac{5}{3} - \frac{2}{6}$
$\frac{8}{x}$ $=$ $\frac{5}{3} - \frac{1}{3}$
$\frac{8}{x}$ $=$ $\frac{4}{3}$
↓
Bilde die Kehrbrüche.
$\frac{x}{8}$ $=$ $\frac{3}{4}$ $\cdot 8$
$x$ $=$ $\frac{3 \cdot 8}{4}$
$x$ $=$ $6$
Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(I)$ , und löse nach $y$ auf.
$(I) \frac{4}{x} + \frac{8}{y}$ $=$ $\frac{5}{3}$
↓
Setze $x = 6$ ein.
$\frac{4}{6} + \frac{8}{y}$ $=$ $\frac{5}{3}$ $- \frac{4}{6}$
$\frac{8}{y}$ $=$ $\frac{5}{3} - \frac{4}{6}$
$\frac{8}{y}$ $=$ $\frac{5}{3} - \frac{2}{3}$
$\frac{8}{y}$ $=$ $\frac{3}{3}$
$\frac{8}{y}$ $=$ $1$ $\cdot y$
$y$ $=$ $8$
Gib die Lösungsmenge an. $L = {(x | y)} = {(6 | 8)}$ .
Versuche die Lösung für diese nicht-linearen Gleichungen mithilfe der Verfahren zu lösen, die du schon bei linearen Gleichungssystemen kennst.
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$\begin{array}{rrcl} (I) & \frac{7}{x} - \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ (II) & \frac{4}{y} + \frac{5}{2} & = & \frac{9}{x} \end{array}$
wobei $x, y \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.
Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.
Hier eignet sich das Additionsverfahren. Wenn man die beiden Gleichungen so umformt, dass die Terme mit $x$ oder $y$ identisch sind, kann man die beiden umgeformten Gleichungen voneinander abziehen und muss nur noch eine Gleichung mit einer Variablen lösen.
Lösung mithilfe des Additionsverfahren
Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:
Gegeben: $\begin{array}{rrcl} (I) & \frac{7}{x} - \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ (II) & \frac{4}{y} + \frac{5}{2} & = & \frac{9}{x} \end{array}$
Forme $(II)$ so um, dass auf einer Seite alle Variablen und auf der anderen nur Zahlen sind.
$(II) \frac{4}{y} + \frac{5}{2}$ $=$ $\frac{9}{x}$ $- \frac{9}{x} - \frac{5}{2}$
$({II}^{'}) - \frac{9}{x} + \frac{4}{y}$ $=$ $- \frac{5}{2}$
Das neue Gleichungssystem lautet nun:
$\begin{array}{rrcl} (I) & \frac{7}{x} - \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ ({II}^{'}) & - \frac{9}{x} + \frac{4}{y} & = & - \frac{5}{2} \end{array}$
Die Gleichung $({II}^{'})$ enthält den Term $\frac{4}{y}$ und die Gleichung $(I)$ ein Vielfaches von $\frac{4}{y}$ und zwar $- \frac{12}{y}$ . Nimm also $({II}^{'})$ mal $3$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{12}{y}$ zu eliminieren.
$({II}^{'}) - \frac{9}{x} + \frac{4}{y}$ $=$ $- \frac{5}{2}$ $\cdot 3$
$({II}^{''}) - \frac{27}{x} + \frac{12}{y}$ $=$ $- \frac{15}{2}$
$(I) + ({II}^{''})$ :
$(I) \frac{7}{x} - \frac{12}{y} = \frac{5}{6}$
$(I I) - \frac{27}{x} + \frac{12}{y} = - \frac{15}{2}$
$\begin{array}{rrcr} (I) & \frac{7}{x} - \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ + ({II}^{''}) & - \frac{27}{x} + \frac{12}{y} & = & - \frac{15}{2} \end{array}$
$- \frac{20}{x} = - \frac{40}{6}$
Löse nun die Gleichung $- \frac{20}{x} = - \frac{40}{6}$ , indem du Kehrbrüche bildest.
$- \frac{20}{x}$ $=$ $- \frac{40}{6}$
$- \frac{x}{20}$ $=$ $- \frac{6}{40}$ $\cdot (- 20)$
$x$ $=$ $\frac{6 \cdot 20}{2 \cdot 20}$
↓
Kürze.
$x$ $=$ $\frac{6}{2}$
$x$ $=$ $3$
Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(II)$ , und löse nach $y$ auf.
$(II) \frac{4}{y} + \frac{5}{2}$ $=$ $\frac{9}{x}$
↓
Setze $x = 3$ ein.
$\frac{4}{y} + \frac{5}{2}$ $=$ $\frac{9}{3}$ $- \frac{5}{2}$
$\frac{4}{y}$ $=$ $\frac{9}{3} - \frac{5}{2}$
$\frac{4}{y}$ $=$ $\frac{18}{6} - \frac{15}{6}$
$\frac{4}{y}$ $=$ $\frac{3}{6}$
$\frac{4}{y}$ $=$ $\frac{1}{2}$
↓
Bilde Kehrbrüche.
$\frac{y}{4}$ $=$ $\frac{2}{1}$ $\cdot 4$
$y$ $=$ $8$
Gib die Lösungsmenge an. $L = {(x | y)} = {(3 | 8)}$
Versuche die Lösung für diese nicht-linearen Gleichungen mithilfe der Verfahren zu lösen, die du schon bei linearen Gleichungssystemen kennst.
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\begin{array}{l} (I) \frac{4}{3 x + 1} = \frac{2}{3 y - 13} \\ (II) \frac{2}{5 x - 10} = \frac{4}{7 y - 6} \end{array}$
wobei $x \notin {- \frac{1}{3}; 2}$ und $y \notin {\frac{13}{3}; \frac{6}{7}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.
Das gegebene nicht-lineare Gleichungssystem kannst du jedoch in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.
Gegeben: $\begin{array}{l} (I) \frac{4}{3 x + 1} = \frac{2}{3 y - 13} \\ (II) \frac{2}{5 x - 10} = \frac{4}{7 y - 6} \end{array}$
Forme $(I)$ und $(I I)$ so um, dass beide Gleichungen keinen Bruch mehr beinhalten.
$(I) \frac{4}{3 x + 1}$ $=$ $\frac{2}{3 y - 13}$ $\cdot (3 x + 1) \cdot (3 y - 13)$
↓
Multipliziere mit den Nennern.
$4 \cdot (3 y - 13)$ $=$ $2 \cdot (3 x + 1)$
$(I^{'}) 12 y - 52$ $=$ $6 x + 2$
$(II) \frac{2}{5 x - 10}$ $=$ $\frac{4}{7 y - 6}$ $\cdot (5 x - 10) \cdot (7 y - 6)$
↓
Multipliziere mit den Nennern.
$2 \cdot (7 y - 6)$ $=$ $4 \cdot (5 x - 10)$
$({II}^{'}) 14 y - 12$ $=$ $20 x - 40$
Das lineare Gleichungssystem lautet also:
$\begin{array}{l} (I^{'}) 12 y - 52 = 6 x + 2 \\ ({II}^{'}) 14 y - 12 = 20 x - 40 \end{array}$
Nun kannst du die bekannten Verfahren für die Lösung des Gleichungssystems anwenden.
Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahren
Mit dem Einsetzungsverfahren kommst du auf diese Lösung:
Gegeben: $\begin{array}{l} (I^{'}) 12 y - 52 = 6 x + 2 \\ ({II}^{'}) 14 y - 12 = 20 x - 40 \end{array}$
Forme $(I^{'})$ so um, dass nur noch $x$ auf einer Seite steht.
$(I^{'}) 12 y - 52$ $=$ $6 x + 2$ $- 2$
$12 y - 54$ $=$ $6 x$ $: 6$
$(I^{''}) 2 y - 9$ $=$ $x$
Setze $x = 2 y - 9$ in $({II}^{'})$ ein.
$({II}^{'}) 14 y - 12$ $=$ $20 x - 40$
↓
Setze $x = 2 y - 9$ ein.
$14 y - 12$ $=$ $20 \cdot (2 y - 9) - 40$
↓
Löse nun nach $y$ auf.
$14 y - 12$ $=$ $40 y - 180 - 40$
$14 y - 12$ $=$ $40 y - 220$ $- 14 y + 220$
$208$ $=$ $26 y$ $: 26$
$y$ $=$ $8$
Setze $y = 8$ in $(I^{'})$ ein, um $x$ zu berechnen.
$(I^{'}) x$ $=$ $2 y - 9$
↓
Setze $y = 8$ ein.
$=$ $2 \cdot 8 - 9$
$=$ $16 - 9$
$=$ $7$
Gib die Lösungmenge an. $L = {(x | y)} = {(7 | 8)}$
Zusatz: Überprüfe deine Lösung durch eine Probe
Setze $x = 7$ und $y = 8$ in deine Gleichungen $(I)$ und $(II)$ ein und prüfe, ob die Gleichung stimmt.
$(I) \frac{4}{3 x + 1}$ $=$ $\frac{2}{3 y - 13}$
↓
Setze $x = 7$ und $y = 8$ ein.
$\frac{4}{3 \cdot 7 + 1}$ $=$ $\frac{2}{3 \cdot 8 - 13}$
$\frac{4}{21 + 1}$ $=$ $\frac{2}{24 - 13}$
$\frac{4}{22}$ $=$ $\frac{2}{11}$
$\frac{2}{11}$ $=$ $\frac{2}{11} ✓$
$(II) \frac{2}{5 x - 10}$ $=$ $\frac{4}{7 y - 6}$
↓
Setze $x = 7$ und $y = 8$ ein.
$\frac{2}{5 \cdot 7 - 10}$ $=$ $\frac{4}{7 \cdot 8 - 6}$
$\frac{2}{35 - 10}$ $=$ $\frac{4}{56 - 6}$
$\frac{2}{25}$ $=$ $\frac{4}{50}$
$\frac{2}{25}$ $=$ $\frac{2}{25} ✓$
Beide Gleichungen sind richtig, also stimmt unsere Lösung.
Versuche die Lösung für diese nicht-linearen Gleichungen mithilfe der Verfahren zu lösen, die du schon bei linearen Gleichungssystemen kennst.
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\begin{array}{rrcl} (I) & \frac{3}{2 x - 1} - \frac{8}{3 y + 2} & = & - \frac{1}{5} \\ (II) & \frac{5}{2 x - 1} + \frac{4}{3 y + 2} & = & \frac{8}{15} \end{array}$
wobei $x \neq \frac{1}{2}$ und $y \neq - \frac{2}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineares Gleichungssystem
Lineare Gleichungssysteme kannst du mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren lösen.
Probiere diese Verfahren für dieses nicht-lineare Gleichungssystem aus.
Hier eignet sich das Additionsverfahren. Wenn man die beiden Gleichungen so umformt, dass die Terme mit $x$ oder $y$ identisch sind, kann man die beiden umgeformten Gleichungen voneinander abziehen und muss nur noch eine Gleichung mit einer Variablen lösen.
Lösung mithilfe des Additionsverfahren
Mit dem Additionsverfahren kommst du auf diese Lösung:
Gegeben: $\begin{array}{rrcl} (I) & \frac{3}{2 x - 1} - \frac{8}{3 y + 2} & = & - \frac{1}{5} \\ (II) & \frac{5}{2 x - 1} + \frac{4}{3 y + 2} & = & \frac{8}{15} \end{array}$
Die Gleichung $(II)$ enthält den Term $\frac{4}{3 y + 2}$ und die Gleichung $(I)$ ein Vielfaches von $\frac{4}{3 y + 2}$ und zwar $- \frac{8}{3 y + 2}$ . Nimm also $(II)$ mal $2$ und addiere dann die Gleichungen, um den Term $\frac{8}{3 y + 2}$ zu eliminieren.
$(II) \frac{5}{2 x - 1} + \frac{4}{3 y + 2}$ $=$ $\frac{8}{15}$ $\cdot 2$
$({II}^{'}) \frac{10}{2 x - 1} + \frac{8}{3 y + 2}$ $=$ $\frac{16}{15}$
Das neue Gleichungssystem lautet also:
$\begin{array}{rrcl} (I) & \frac{3}{2 x - 1} - \frac{8}{3 y + 2} & = & - \frac{1}{5} \\ ({II}^{'}) & \frac{10}{2 x - 1} + \frac{8}{3 y + 2} & = & \frac{16}{15} \end{array}$
$(I) + ({II}^{'})$ :
$\begin{array}{rrcl} (I) & \frac{3}{2 x - 1} - \frac{8}{3 y + 2} & = & - \frac{1}{5} \\ + ({II}^{'}) & \frac{10}{2 x - 1} + \frac{8}{3 y + 2} & = & \frac{16}{15} \end{array}$
$\frac{13}{2 x - 1} = - \frac{1}{5} + \frac{16}{15}$
Löse nun die durch die Addition entstandene Gleichung nach $x$ auf.
$\frac{13}{2 x - 1}$ $=$ $- \frac{1}{5} + \frac{16}{15}$
$\frac{13}{2 x - 1}$ $=$ $- \frac{3}{15} + \frac{16}{15}$
$\frac{13}{2 x - 1}$ $=$ $\frac{13}{15}$
↓
Bilde die Kehrbrüche.
$\frac{2 x - 1}{13}$ $=$ $\frac{15}{13}$ $\cdot 13$
$2 x - 1$ $=$ $15$ $+ 1$
$2 x$ $=$ $16$ $: 2$
$x$ $=$ $8$
Setze $x$ nun in eine der obigen Gleichungen ein, z.B. in $(I)$ , und löse nach $y$ auf.
$(I) \frac{3}{2 x - 1} - \frac{8}{3 y + 2}$ $=$ $- \frac{1}{5}$
↓
Setze $x = 8$ ein.
$\frac{3}{2 \cdot 8 - 1} - \frac{8}{3 y + 2}$ $=$ $- \frac{1}{5}$
$\frac{3}{15} - \frac{8}{3 y + 2}$ $=$ $- \frac{1}{5}$
$\frac{1}{5} - \frac{8}{3 y + 2}$ $=$ $- \frac{1}{5}$ $- \frac{1}{5}$
$- \frac{8}{3 y + 2}$ $=$ $- \frac{2}{5}$
↓
Bilde den Kehrbruch.
$- \frac{3 y + 2}{8}$ $=$ $- \frac{5}{2}$ $\cdot (- 8)$
$3 y + 2$ $=$ $\frac{5 \cdot 8}{2}$
$3 y + 2$ $=$ $20$ $- 2$
$3 y$ $=$ $18$ $: 3$
$y$ $=$ $6$
Gib die Lösungsmenge an, dabei zuerst die Lösung für $x$ , dann für $y$ .
$L = {(8 | 6)}$
Versuche die Lösung für diese nicht-linearen Gleichungen mithilfe der Verfahren zu lösen, die du schon bei linearen Gleichungssystemen kennst.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$(II) \frac{2}{x} - \frac{4}{y}$	$=$	$- \frac{1}{6}$	$\cdot 2$
$({II}^{'}) \frac{4}{x} - \frac{8}{y}$	$=$	$- \frac{2}{6}$

$\frac{8}{x}$	$=$	$\frac{5}{3} - \frac{2}{6}$
$\frac{8}{x}$	$=$	$\frac{5}{3} - \frac{1}{3}$
$\frac{8}{x}$	$=$	$\frac{4}{3}$
	↓	Bilde die Kehrbrüche.
$\frac{x}{8}$	$=$	$\frac{3}{4}$	$\cdot 8$
$x$	$=$	$\frac{3 \cdot 8}{4}$
$x$	$=$	$6$

$(I) \frac{4}{x} + \frac{8}{y}$	$=$	$\frac{5}{3}$
	↓	Setze $x = 6$ ein.
$\frac{4}{6} + \frac{8}{y}$	$=$	$\frac{5}{3}$	$- \frac{4}{6}$
$\frac{8}{y}$	$=$	$\frac{5}{3} - \frac{4}{6}$
$\frac{8}{y}$	$=$	$\frac{5}{3} - \frac{2}{3}$
$\frac{8}{y}$	$=$	$\frac{3}{3}$
$\frac{8}{y}$	$=$	$1$	$\cdot y$
$y$	$=$	$8$

$(II) \frac{4}{y} + \frac{5}{2}$	$=$	$\frac{9}{x}$	$- \frac{9}{x} - \frac{5}{2}$
$({II}^{'}) - \frac{9}{x} + \frac{4}{y}$	$=$	$- \frac{5}{2}$

$({II}^{'}) - \frac{9}{x} + \frac{4}{y}$	$=$	$- \frac{5}{2}$	$\cdot 3$
$({II}^{''}) - \frac{27}{x} + \frac{12}{y}$	$=$	$- \frac{15}{2}$

$- \frac{20}{x}$	$=$	$- \frac{40}{6}$
$- \frac{x}{20}$	$=$	$- \frac{6}{40}$	$\cdot (- 20)$
$x$	$=$	$\frac{6 \cdot 20}{2 \cdot 20}$
	↓	Kürze.
$x$	$=$	$\frac{6}{2}$
$x$	$=$	$3$

$(II) \frac{4}{y} + \frac{5}{2}$	$=$	$\frac{9}{x}$
	↓	Setze $x = 3$ ein.
$\frac{4}{y} + \frac{5}{2}$	$=$	$\frac{9}{3}$	$- \frac{5}{2}$
$\frac{4}{y}$	$=$	$\frac{9}{3} - \frac{5}{2}$
$\frac{4}{y}$	$=$	$\frac{18}{6} - \frac{15}{6}$
$\frac{4}{y}$	$=$	$\frac{3}{6}$
$\frac{4}{y}$	$=$	$\frac{1}{2}$
	↓	Bilde Kehrbrüche.
$\frac{y}{4}$	$=$	$\frac{2}{1}$	$\cdot 4$
$y$	$=$	$8$

$(I) \frac{4}{3 x + 1}$	$=$	$\frac{2}{3 y - 13}$	$\cdot (3 x + 1) \cdot (3 y - 13)$
	↓	Multipliziere mit den Nennern.
$4 \cdot (3 y - 13)$	$=$	$2 \cdot (3 x + 1)$
$(I^{'}) 12 y - 52$	$=$	$6 x + 2$

$(II) \frac{2}{5 x - 10}$	$=$	$\frac{4}{7 y - 6}$	$\cdot (5 x - 10) \cdot (7 y - 6)$
	↓	Multipliziere mit den Nennern.
$2 \cdot (7 y - 6)$	$=$	$4 \cdot (5 x - 10)$
$({II}^{'}) 14 y - 12$	$=$	$20 x - 40$

$(I^{'}) 12 y - 52$	$=$	$6 x + 2$	$- 2$
$12 y - 54$	$=$	$6 x$	$: 6$
$(I^{''}) 2 y - 9$	$=$	$x$

$(II) \frac{5}{2 x - 1} + \frac{4}{3 y + 2}$	$=$	$\frac{8}{15}$	$\cdot 2$
$({II}^{'}) \frac{10}{2 x - 1} + \frac{8}{3 y + 2}$	$=$	$\frac{16}{15}$

$(I) \frac{3}{2 x - 1} - \frac{8}{3 y + 2}$	$=$	$- \frac{1}{5}$
	↓	Setze $x = 8$ ein.
$\frac{3}{2 \cdot 8 - 1} - \frac{8}{3 y + 2}$	$=$	$- \frac{1}{5}$
$\frac{3}{15} - \frac{8}{3 y + 2}$	$=$	$- \frac{1}{5}$
$\frac{1}{5} - \frac{8}{3 y + 2}$	$=$	$- \frac{1}{5}$	$- \frac{1}{5}$
$- \frac{8}{3 y + 2}$	$=$	$- \frac{2}{5}$
	↓	Bilde den Kehrbruch.
$- \frac{3 y + 2}{8}$	$=$	$- \frac{5}{2}$	$\cdot (- 8)$
$3 y + 2$	$=$	$\frac{5 \cdot 8}{2}$
$3 y + 2$	$=$	$20$	$- 2$
$3 y$	$=$	$18$	$: 3$
$y$	$=$	$6$

$({II}^{'}) 14 y - 12$	$=$	$20 x - 40$
	↓	Setze $x = 2 y - 9$ ein.
$14 y - 12$	$=$	$20 \cdot (2 y - 9) - 40$
	↓	Löse nun nach $y$ auf.
$14 y - 12$	$=$	$40 y - 180 - 40$
$14 y - 12$	$=$	$40 y - 220$	$- 14 y + 220$
$208$	$=$	$26 y$	$: 26$
$y$	$=$	$8$

$(I^{'}) x$	$=$	$2 y - 9$
	↓	Setze $y = 8$ ein.
	$=$	$2 \cdot 8 - 9$
	$=$	$16 - 9$
	$=$	$7$

$(I) \frac{4}{3 x + 1}$	$=$	$\frac{2}{3 y - 13}$
	↓	Setze $x = 7$ und $y = 8$ ein.
$\frac{4}{3 \cdot 7 + 1}$	$=$	$\frac{2}{3 \cdot 8 - 13}$
$\frac{4}{21 + 1}$	$=$	$\frac{2}{24 - 13}$
$\frac{4}{22}$	$=$	$\frac{2}{11}$
$\frac{2}{11}$	$=$	$\frac{2}{11} ✓$

$\frac{13}{2 x - 1}$	$=$	$- \frac{1}{5} + \frac{16}{15}$
$\frac{13}{2 x - 1}$	$=$	$- \frac{3}{15} + \frac{16}{15}$
$\frac{13}{2 x - 1}$	$=$	$\frac{13}{15}$
	↓	Bilde die Kehrbrüche.
$\frac{2 x - 1}{13}$	$=$	$\frac{15}{13}$	$\cdot 13$
$2 x - 1$	$=$	$15$	$+ 1$
$2 x$	$=$	$16$	$: 2$
$x$	$=$	$8$

Aufgaben mit zwei Unbekannten

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Lösung mithilfe des Additionsverfahren

Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahren

Zusatz: Überprüfe deine Lösung durch eine Probe

Lösung mithilfe des Additionsverfahren