Aufgaben zu Hypothesentests

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm{H}}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Das Pharmainstitut versucht natürlich zu beweisen, dass das Medikament gut ist.

Formuliere nun die Gegenhypothese ${\mathrm{H}}_1$.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil: ${\mathrm{H}}_0$: $\mathrm{p}\le \mathrm{0,8}$, was bedeutet, dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als $\mathrm{0,8}$ wirkt.

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm{H}}_1$:  $\mathrm{p}>\mathrm{0,8}$ , also dass das Medikament mit einer Wahrscheinlichkeit von über $80\%$ wirkt.

Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei 50 Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von $80\%$ bei mehr Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens $5\%$ betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

$\begin{array}{ccc}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}{\mathrm{H}}_0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}{\mathrm{H}}_1(\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}{\mathrm{H}}_0)\\ & 0\dots k& k+1\dots 50\\ H_0:p\le \mathrm{0,8}& & \mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}1.\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}<\mathrm{0,05}\\ H_1:p>\mathrm{0,8}& & \end{array}$

Suche in den Tabellen den kleinsten Wert k-1 bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ($n=50$ $p=\mathrm{0,8}$) für den der Wert gerade noch größer als $\mathrm{0,95}$ ist.

Tabellenwerk liefert:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,8}}^{50}(\mathrm{X}\le 43)=\mathrm{0,89660}$;

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,8}}^{50}(\mathrm{X}\le 44)=\mathrm{0,95197}$;

$\Rightarrow \mathrm{k}-1\ge 44$

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes.

Die Nullhypothese wird also bei $44$ oder weniger Treffern im Test, also Personen bei denen das Medikament wirkt, angenommen und bei $45$ oder mehr abgelehnt.

Im Test wirkte das Medikament bei $45$ Personen, das liegt im für das Pharmainstitut günstigen Ablehnungsbereich.

Das Ergebnis der Testreihe ist damit signifikant bewiesen.

Formuliere die Nullhypothese ${\mathrm{H}}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das was man selbst beweisen will in der Gegenhypothese steht. Hier wird versucht zu überprüfen, ob das Medikament nicht doch schlechter wirkt, als behauptet.

Die Nullhypothese ist ${\mathrm{H}}_0$: $\mathrm{p}\ge \mathrm{0,8}$, also dass das Medikament mit 80% Wahrscheinlichkeit oder mehr wirkt.

Formuliere die Gegenhypothese ${\mathrm{H}}_1$.

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm{H}}_1$: $\mathrm{p}<\mathrm{0,8}$, also dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als $80\%$ wirkt.

Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei $50$ Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von $80\%$ bei weniger Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens $5\%$ betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

$\begin{array}{ccc}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}{\mathrm{H}}_0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}{\mathrm{H}}_1(\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}{\mathrm{H}}_0)\\ & k+1\dots 50& 0\dots k\\ H_0:p\ge \mathrm{0,8}& & \mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}1.\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}<\mathrm{0,05}\\ H_1:p<\mathrm{0,8}& & \end{array}$

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ($n=50$ $p=\mathrm{0,8}$) für den der Wert gerade noch kleiner als $\mathrm{0,05}$ ist.

Tabellenwerk liefert:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,8}}^{50}(\mathrm{X}\le 34)=\mathrm{0,03080}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,8}}^{50}(\mathrm{X}\le 35)=\mathrm{0,06072}$;

$\Rightarrow \mathrm{k}\le 34$

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Die Nullhypothese wird bei $34$ oder weniger Patienten, bei denen das Medikament wirkt, abgelehnt und demnach bei $35$ oder mehr Patienten angenommen.