Teil 2 Analysis II

Gegeben ist die Funktion $g : x \to 2 - 5 e^{- 0,1 x^{2}}$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ . Der Graph von g in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{g}$ bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von g für $| x | \to \infty$ . Geben Sie die Gleichung der Asymptote des Graphen $G_{g}$ an.

Man vergleicht $f (x)$ mit $f (- x)$ und $x \in ℝ$
$f (x) = 2 - 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}}$
$f (- x) = 2 - 5 \cdot e^{\frac{(- x)^{2}}{10}} = 2 - 5 \cdot e^{\frac{x^{2}}{10}} = f (x)$
Der Graph $G_{g}$ ist achsensymmetrisch.
Es gilt: $\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0 \Rightarrow \lim_{| x | \to \infty} [2 - 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}}] = 2$
Die Asymptotengleichung lautet: $a (x) = 2$
Berechnen Sie die Nullstellen von g. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

$g (x) = 0 \Rightarrow$
$2 - 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}} = 0 ⟺ 2 = 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}} ⟺ \frac{2}{5} = e^{- \frac{x^{2}}{10}} ⟺ l n \frac{2}{5} = - \frac{x^{2}}{10}$
$10 \cdot l n \frac{2}{5} = - x^{2} ⟺ x_{1} = - \sqrt{- 10 \cdot l n \frac{2}{5}}$ und $x_{2} = \sqrt{- 10 \cdot l n \frac{2}{5}}$
$x_{1} = - 3,03$ und $x_{2} = 3,03$
Man beachte, dass $l n \frac{2}{5} < 0,$ weil $\frac{2}{5} < 1$
$g (x) = 0$
Ermitteln Sie Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von $G_{g}$ . Begründen Sie, warum dieser absolut ist und geben Sie die Wertemenge $W_{g}$ der Funktion g an.
[Teilergebnis: $g^{'} (x) = x \cdot e^{- 0,1 x^{2}}$ ]
Stellen Sie die Gleichung der Tangente an $G_{g}$ an der Stelle $x = 3$ in allgemeiner Form auf.

Der Berührpunkt $B$ hat die Koordinaten $B (3 | (f (3)) |)$ mit $f (3) = 2 - 5 \cdot e^{- \frac{9}{10}}$ .
Es ist $f^{'} (x) = 5 \cdot \frac{1}{10} \cdot 2 \cdot x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}} = x e^{- \frac{x^{2}}{10}}$
Die Tangente $t$ an den Graph $G_{f}$ im Berührpunkt $B$ hat die Steigung
$m = f^{'} (3) = 3 e^{- \frac{9}{10}}$
Die allgemeine Form einer Geraden ist $y = m \cdot x + b$
Somit gilt für die Tangente $t : y = 3 e^{- \frac{9}{10}} \cdot x + b$
Da der Punkt $B$ auf der Tangente liegt, folgt
$2 - 5 \cdot e^{- \frac{9}{10}} = 3 \cdot e^{- \frac{9}{10}} \cdot 3 + b \Rightarrow b = 2 - 14 \cdot e^{- \frac{9}{10}}$
Also ist die Tangentengleichung $t : y = 3 e^{- \frac{9}{10}} \cdot x + (2 - 14 \cdot e^{- \frac{9}{10}})$
In Dezimalzahlen ist das etwa $t : y = 1,22 \cdot x - 3,69$ .
Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von $G_{g}$ können auch ohne Verwendung der Ableitungsfunktion bestimmt werden. Begründen Sie dies mithilfe bekannter Ergebnisse. Verwenden Sie dabei die Tatsache, dass nur höchstens ein Extrempunkt von $G_{g}$ existiert.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonie
Die Funktion $g$ ist gerade.
Die Zuordnung $x \mapsto - 0,1 x^{2}$ ist für positive $x$ streng monoton fallend. Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion gilt dies auch für $x \mapsto 5 e^{- 0,1 x^{2}}$ und damit ist $g$ für positive $x$ streng monoton steigend und für negative $x$ streng monoton fallend.
Daher wissen wir, dass $g$ für $x = 0$ ein Minimum haben muss und erhalten als Koordinaten des Tiefpunkts $T (0 | g (0)) = (0 | - 3)$ .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion g im Bereich $- 7 \leq x \leq 7$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 1 cm

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org