weiterführende Aufgaben zum Hypothesentest

Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm{H}}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Lehrer Maier glaubt, dass mehr als 40% der Schüler das Thema Hypothesentest noch nicht verstanden haben.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil: ${\mathrm{H}}_0$: ${\mathrm{p}}_0\le \mathrm{0,4}$; d.h. weniger als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.

Stelle nun die Gegenhypothese $H_1$ auf.

Die Gegenhypothese ist ${\mathrm{H}}_1$:  $\mathrm{p}>\mathrm{0,4}$ ; d.h. mehr als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.

Als Übersicht über die Angaben kann die folgende Tabelle benutzt werden:

$\begin{array}{ccc}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}{\mathrm{H}}_0& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}{\mathrm{H}}_1(\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}{\mathrm{H}}_0)\\ & 0\dots k& k+1\dots 50\\ H_0:p\le \mathrm{0,4}& & \mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}1.\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}\le \mathrm{0,1}\\ H_1:p>\mathrm{0,4}& & \end{array}$

Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler den Test besteht betrage 40%. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schülern mehr Schüler den Test bestehen als die Entscheidungsregel angibt, soll höchstens 10% betragen.)

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\ge \mathrm{k})\le \mathrm{0,1}$

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

$1-{\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}<\mathrm{k})\le \mathrm{0,1}$

$|-1$ und schreibe $\mathrm{X}<\mathrm{k}$ als $\mathrm{X}\le \mathrm{k}-1$.

$-{\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\le \mathrm{k}-1)\le -\mathrm{0,9}$

$|\cdot (-1)$ auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\le \mathrm{k}-1)\ge \mathrm{0,9}$

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.

Tabellenwerk liefert:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\le 23)=\mathrm{0,8438}$;

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\le 24)=\mathrm{0,9022}$;

$\Rightarrow \mathrm{k}-1\ge 24$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\le \mathrm{k})\le \mathrm{0,1}$

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.

Tabellenwerk liefert:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\le 15)=\mathrm{0,0955}$;${\mathrm{P}}_{\mathrm{0,4}}^{50}(\mathrm{X}\le 16)=\mathrm{0,1561}$;

$\Rightarrow \mathrm{k}\le 15$

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

$\mathrm{P}("\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}22\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}")$$=P_{\mathrm{0,25}}^{50}(X\ge 22)=$$1-P_{\mathrm{0,25}}^{50}(X<22)=$ $1-P(X\le 21)$

Bestimme den Wert mit Hilfe des Tafelwerks.

$=1-\mathrm{0,99738}=\mathrm{0,00262}\approx \mathrm{0,2}\%$