Aufgaben zum Zylinder

Berechne jeweils die gesuchten Größen für einen geraden Zylinder.

Berechne außerdem jeweils das Volumen des Zylinders.

Rechne immer mit $π \approx 3,14$ .

Gegeben sind der Oberflächeninhalt $O_{Z y l} = 351,68 {cm}^{2}$ und die Mantelfläche $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ .
Berechne die Fläche des Grundkreises $A_{K}$ , den Radius $r$ des Grundkreises und die Höhe $h$ des Zylinders.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben: Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ und Mantelfläche $A_{M}$
Gesucht: Fläche des Grundkreises $A_{K}$ , Radius $r$ des Grundkreises, Höhe $h$ des Zylinders und das Volumen $V_{Z y l}$
Benötigte Formeln:
Oberfläche des Zylinders : $O_{Z y l} = 2 \cdot A_{K} + A_{M}$
Mantelfläche des Zylinders: $A_{M} = 2 \cdot r \cdot π \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_{K} = r^{2} \cdot π$
Volumen des Zylinders: $V_{Z y l} = A_{K} \cdot h$ oder $V_{Z y l} = r^{2} \cdot π \cdot h$
Berechnung der Grundkreisfläche
Du kennst den Wert des Oberflächeninhalts $O_{Z y l}$ und den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders. Somit kannst du die Formel für den Oberflächeninhalt (Nr. 1) nach $A_{K}$ auflösen.
$O_{Z y l}$ $=$ $2 \cdot A_{K} + A_{M}$ $- A_{M}$
↓
Löse nach $A_{K}$ auf.
$O_{Z y l} - A_{M}$ $=$ $2 \cdot A_{K}$ $: 2$
$\frac{O_{Z y l} - A_{M}}{2}$ $=$ $A_{K}$
↓
Setze $O_{Z y l} = 351,68 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ ein.
$A_{K}$ $=$ $\frac{351,68 {cm}^{2} - 251,2 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$ $=$ $\frac{100,48 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$ $=$ $50,24 {cm}^{2}$
Antwort: Der Grundkreis des Zylinders hat eine Fläche von etwa $50,24 {cm}^{2}$ .
Berechnung des Radius der Grundkreisfläche
Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3).
Benutze den gerade berechneten Wert der Grundkreisfläche um den Radius $r$ zu berechnen.
$A_{K}$ $=$ $r^{2} \cdot π$ $: π$
↓
Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
↓
Setze $A_{K} = 50,24 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{π}}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{3,14}}$
$=$ $\sqrt{16 {cm}^{2}}$
$=$ $4 cm$
Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r = 4 cm$ .
Berechnung der Höhe des Zylinders
Du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und du kennst die Formel für die Berechnung der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders (Nr. 2). Sie enthält die gesuchte Höhe $h$ und den gerade berechneten Grundkreisradius $r$ .
$A_{M}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π \cdot h$ $: (2 \cdot r \cdot π)$
↓
Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$ $=$ $h$
↓
Setze $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ und $r = 4 cm$ ein.
$h$ $=$ $\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot 3,14}$
$=$ $\frac{251,2 {cm}^{2}}{25,12 cm}$
$=$ $10 cm$
Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h = 10 cm$ .
Berechnung des Zylindervolumens
Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Z y l}$ (Nr. 4). Sie enthält den berechneten Grundkreisflächeninhalt $A_{K}$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .
$V_{Z y l}$ $=$ $A_{K} \cdot h$
↓
Setze $A_{K} = 50,24 m^{2}$ und $h = 10 cm$ ein.
$=$ $50,24 {cm}^{2} \cdot 10 cm$
$=$ $502,4 {cm}^{3}$
Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $502,4 {cm}^{3}$ .
Notiere dir, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind, was gesucht ist und welche Formeln du für die Lösung der Aufgabe kennst.
Gegeben sind die Mantelfläche $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ und die Fläche des Grundkreises $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ .
Berechne den Radius $r$ des Grundkreises, die Höhe $h$ und den Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ des Zylinders.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben: Mantelfläche $A_{M}$ und Fläche des Grundkreises $A_{K}$
Gesucht: Radius $r$ des Grundkreises, Höhe $h$ des Zylinders, Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ und das Volumen $V_{Z y l}$
Benötigte Formeln:
Oberfläche des Zylinders : $O_{Z y l} = 2 \cdot A_{K} + A_{M}$
Mantelfläche des Zylinders: $A_{M} = 2 \cdot r \cdot π \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_{K} = r^{2} \cdot π$
Volumen des Zylinders: $V_{Z y l} = A_{K} \cdot h$ oder $V_{Z y l} = r^{2} \cdot π \cdot h$
Radius der Grundkreisfläche
Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3). Benutze sie, um den Radius $r$ zu berechnen.
$A_{K}$ $=$ $r^{2} \cdot π$ $: π$
↓
Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
↓
Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{\frac{153,86 {cm}^{2}}{π}}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\sqrt{\frac{153,86 {cm}^{2}}{3,14}}$
$=$ $\sqrt{49 {cm}^{2}}$
$=$ $7 cm$
Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r = 7 cm$ .
Berechnung der Höhe des Zylinders
Du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und du kennst die Formel für die Berechnung der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders (Nr. 2). Sie enthält die gesuchte Höhe $h$ und den gerade berechneten Grundkreisradius $r$ .
$A_{M}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π \cdot h$ $: (2 \cdot r \cdot π)$
↓
Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$ $=$ $h$
↓
Setze $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ und $r = 7 cm$ ein
$h$ $=$ $\frac{571,48 {cm}^{2}}{2 \cdot 7 cm \cdot π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{571,48 {cm}^{2}}{2 \cdot 7 cm \cdot 3,14}$
$=$ $\frac{571,48 {cm}^{2}}{43,96 cm}$
$=$ $13 cm$
Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h = 13 cm$ .
Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders
Du kennst den Wert der Grundkreisfläche $A_{K}$ und du kennst den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders. Berechne mit Formel Nr. 1 den Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ des Zylinders.
$O_{Z y l}$ $=$ $2 \cdot A_{K} + A_{M}$
↓
Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $2 \cdot 153,86 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
$=$ $307,72 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
$=$ $879,2 {cm}^{2}$
Antwort: Der Zylinder hat einen Oberflächeninhalt von etwa $879,2 {cm}^{2}$ .
Berechnung des Zylindervolumens
Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Z y l}$ (Nr. 4). Sie enthält den gegebenen Wert für den Grundkreisflächeninhalt $A_{K}$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .
$V_{Z y l}$ $=$ $A_{K} \cdot h$
↓
Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $h = 13 cm$ ein.
$=$ $153,86 {cm}^{2} \cdot 13 cm$
$=$ $2000,18 {cm}^{3}$
Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $2000,18 {cm}^{3}$ .
Notiere dir, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind, was gesucht ist und welche Formeln du für die Lösung der Aufgabe kennst.
Gegeben sind der Oberflächeninhalt $O_{Z y l} = 2788,32 {cm}^{2}$ und die Fläche des Grundkreises $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ . Berechne den Radius $r$ des Grundkreises, die Mantelfläche $A_{M}$ und die Höhe $h$ des Zylinders.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Gegeben: Oberflächeninhalt $O_{Z y l}$ und Fläche des Grundkreises $A_{K}$
Gesucht: Radius $r$ des Grundkreises, die Mantelfläche $A_{M}$ , die Höhe $h$ des Zylinders und das Volumen $V_{Z y l}$
Benötigte Formeln:
Oberfläche des Zylinders : $O_{Z y l} = 2 \cdot A_{K} + A_{M}$
Mantelfläche des Zylinders: $A_{M} = 2 \cdot r \cdot π \cdot h $
Fläche des Grundkreises: $A_{K} = r^{2} \cdot π$
Volumen des Zylinders: $V_{Z y l} = A_{K} \cdot h$ oder $V_{Z y l} = r^{2} \cdot π \cdot h$
Radius der Grundkreisfläche
Du kennst die Formel für die Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders (Nr. 3). Benutze sie, um den Radius $r$ zu berechnen.
$A_{K}$ $=$ $r^{2} \cdot π$ $: π$
↓
Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$ $=$ $r^{2}$ $\sqrt{}$
$r$ $=$ $\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
↓
Setze $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ ein.
$=$ $\sqrt{\frac{452,16 {cm}^{2}}{π}}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\sqrt{\frac{452,16 {cm}^{2}}{3,14}}$
$=$ $\sqrt{144 {cm}^{2}}$
$=$ $12 cm$
Antwort: Der Radius des Grundkreises beträgt etwa $r = 12 cm$ .
Berechnung der Mantelfläche des Zylinders
Du kennst den Wert des Oberflächeninhalts $O_{Z y l}$ und du kennst den Wert der Grundkreisfläche $A_{K}$ des Zylinders. Berechne mit Formel Nr. 1 die Mantelfläche $A_{M}$ des Zylinders.
$O_{Z y l}$ $=$ $2 \cdot A_{K} + A_{M}$ $- 2 \cdot A_{K}$
↓
Löse nach $A_{M}$ auf.
$O_{Z y l} - 2 \cdot A_{K}$ $=$ $A_{M}$
↓
Setze $O_{Z y l} = 2788,32 {cm}^{2}$ und $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ ein.
$A_{M}$ $=$ $2788,32 {cm}^{2} - 2 \cdot 452,16 {cm}^{2}$
$=$ $2788,32 {cm}^{2} - 904,32 {cm}^{2}$
$=$ $1884 {cm}^{2}$
Antwort: Der Zylinder hat eine Mantelfläche von etwa $1884 {cm}^{2}$ .
Berechnung der Höhe des Zylinders
Du hast den Wert der Mantelfläche $A_{M}$ und den Grundkreisradius $r$ berechnet. Mit Formel Nr. 2 kannst du die gesuchte Höhe $h$ berechnen.
$A_{M}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π \cdot h$ $: (2 \cdot r \cdot π)$
↓
Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$ $=$ $h$
↓
Setze $A_{M} = 1884 {cm}^{2}$ und $r = 12 cm$ ein.
$h$ $=$ $\frac{1884 {cm}^{2}}{2 \cdot 12 cm \cdot π}$
↓
$π \approx 3,14$
$\approx$ $\frac{1884 {cm}^{2}}{2 \cdot 12 cm \cdot 3,14}$
$=$ $\frac{1884 {cm}^{2}}{75,36 cm}$
$=$ $25 cm$
Antwort: Der Zylinder hat eine Höhe von etwa $h = 25 cm$ .
Berechnung des Zylindervolumens
Du kennst die Formel für das Zylindervolumen $V_{Z y l}$ (Nr. 4). Sie enthält den gegebenen Wert für den Grundkreisflächeninhalt $A_{K}$ und die gerade berechnete Höhe $h$ .
$V_{Z y l}$ $=$ $A_{K} \cdot h$
↓
Setze $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ und $h = 25 cm$ ein.
$=$ $452,16 {cm}^{2} \cdot 25 cm$
$=$ $11304 {cm}^{3}$
Antwort: Der Zylinder hat ein Volumen von etwa $11304 {cm}^{3}$ .
Notiere dir, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind, was gesucht ist und welche Formeln du für die Lösung der Aufgabe kennst.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$O_{Z y l}$	$=$	$2 \cdot A_{K} + A_{M}$	$- A_{M}$
	↓	Löse nach $A_{K}$ auf.
$O_{Z y l} - A_{M}$	$=$	$2 \cdot A_{K}$	$: 2$
$\frac{O_{Z y l} - A_{M}}{2}$	$=$	$A_{K}$
	↓	Setze $O_{Z y l} = 351,68 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ ein.
$A_{K}$	$=$	$\frac{351,68 {cm}^{2} - 251,2 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$	$=$	$\frac{100,48 {cm}^{2}}{2}$
$A_{K}$	$=$	$50,24 {cm}^{2}$

$A_{K}$	$=$	$r^{2} \cdot π$	$: π$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\frac{A_{K}}{π}$	$=$	$r^{2}$	$\sqrt{}$
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{A_{K}}{π}}$
	↓	Setze $A_{K} = 50,24 {cm}^{2}$ ein.
	$=$	$\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{π}}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$\sqrt{\frac{50,24 {cm}^{2}}{3,14}}$
	$=$	$\sqrt{16 {cm}^{2}}$
	$=$	$4 cm$

$A_{M}$	$=$	$2 \cdot r \cdot π \cdot h$	$: (2 \cdot r \cdot π)$
	↓	Löse nach $h$ auf.
$\frac{A_{M}}{2 \cdot r \cdot π}$	$=$	$h$
	↓	Setze $A_{M} = 251,2 {cm}^{2}$ und $r = 4 cm$ ein.
$h$	$=$	$\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot π}$
	↓	$π \approx 3,14$
	$\approx$	$\frac{251,2 {cm}^{2}}{2 \cdot 4 cm \cdot 3,14}$
	$=$	$\frac{251,2 {cm}^{2}}{25,12 cm}$
	$=$	$10 cm$

$V_{Z y l}$	$=$	$A_{K} \cdot h$
	↓	Setze $A_{K} = 50,24 m^{2}$ und $h = 10 cm$ ein.
	$=$	$50,24 {cm}^{2} \cdot 10 cm$
	$=$	$502,4 {cm}^{3}$

$O_{Z y l}$	$=$	$2 \cdot A_{K} + A_{M}$
	↓	Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $A_{M} = 571,48 {cm}^{2}$ ein.
	$=$	$2 \cdot 153,86 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
	$=$	$307,72 {cm}^{2} + 571,48 {cm}^{2}$
	$=$	$879,2 {cm}^{2}$

$V_{Z y l}$	$=$	$A_{K} \cdot h$
	↓	Setze $A_{K} = 153,86 {cm}^{2}$ und $h = 13 cm$ ein.
	$=$	$153,86 {cm}^{2} \cdot 13 cm$
	$=$	$2000,18 {cm}^{3}$

$O_{Z y l}$	$=$	$2 \cdot A_{K} + A_{M}$	$- 2 \cdot A_{K}$
	↓	Löse nach $A_{M}$ auf.
$O_{Z y l} - 2 \cdot A_{K}$	$=$	$A_{M}$
	↓	Setze $O_{Z y l} = 2788,32 {cm}^{2}$ und $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ ein.
$A_{M}$	$=$	$2788,32 {cm}^{2} - 2 \cdot 452,16 {cm}^{2}$
	$=$	$2788,32 {cm}^{2} - 904,32 {cm}^{2}$
	$=$	$1884 {cm}^{2}$

$V_{Z y l}$	$=$	$A_{K} \cdot h$
	↓	Setze $A_{K} = 452,16 {cm}^{2}$ und $h = 25 cm$ ein.
	$=$	$452,16 {cm}^{2} \cdot 25 cm$
	$=$	$11304 {cm}^{3}$

Aufgaben zum Zylinder

Berechnung der Grundkreisfläche

Berechnung des Radius der Grundkreisfläche

Berechnung der Höhe des Zylinders

Berechnung des Zylindervolumens

Radius der Grundkreisfläche

Berechnung der Höhe des Zylinders

Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders

Berechnung des Zylindervolumens

Radius der Grundkreisfläche

Berechnung der Mantelfläche des Zylinders

Berechnung der Höhe des Zylinders

Berechnung des Zylindervolumens